Determine a equação reduzida, o foco, a diretriz, o vértice e faça um esboço do gráfico das seguintes parábolas: x^2-4 y-8=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a equação de uma parábola:
x^2 - 4y - 8 = 0
O conteúdo aqui é sobre parábolas, que são curvas muito legais na matemática. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como transformar a equação geral de uma parábola na forma reduzida, identificar elementos importantes como o foco, a diretriz e o vértice, e finalmente esboçar o gráfico dessa parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos rearrumar a equação para deixá-la na forma reduzida da parábola vertical. A forma padrão para uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Aqui, (h, k) é o vértice da parábola e p indica a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Vamos pegar a equação dada e reorganizar:
x^2 - 4y - 8 = 0 x^2 = 4y + 8 x^2 = 4(y + 2)
Agora, comparando com a forma padrão:
(x - 0)^2 = 4 cdot 1 cdot (y - (-2))
Então, temos h = 0, k = -2 e 4p = 4, o que dá p = 1.

Passo 3

Com esses valores, podemos identificar o vértice da parábola. O vértice (h, k) é:
V = (0, -2)
Isso significa que a parábola está centrada no ponto (0, -2).

Passo 4

Agora, vamos encontrar o foco da parábola. O foco fica a uma distância p acima do vértice (já que a parábola abre para cima, porque o coeficiente de y é positivo).
Então:
F = (h, k + p) = (0, -2 + 1) = (0, -1)

Passo 5

Em seguida, vamos determinar a diretriz. A diretriz é uma reta horizontal que fica a uma distância p abaixo do vértice.
Portanto, a equação da diretriz é:
y = k - p = -2 - 1 = -3

Passo 6

Por último, vamos fazer um esboço do gráfico da parábola utilizando os elementos que encontramos: vértice, foco e diretriz.
  1. Vértice: (0, -2)
  2. Foco: (0, -1)
  3. Diretriz: y = -3
A parábola abre para cima, já que p é positivo.

Resposta

A equação reduzida da parábola é:
(x - 0)^2 = 4(y + 2)
Vértice: (0, -2)
Foco: (0, -1)
Diretriz: y = -3
O esboço do gráfico mostra uma parábola com vértice em (0, -2), abrindo para cima, foco em (0, -1) e diretriz na reta y = -3.

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