Determine a equação reduzida, o foco, a diretriz, o vértice e faça um esboço do gráfico das seguintes parábolas:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a equação de uma parábola:
O conteúdo aqui é sobre parábolas, que são curvas muito legais na matemática. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como transformar a equação geral de uma parábola na forma reduzida, identificar elementos importantes como o foco, a diretriz e o vértice, e finalmente esboçar o gráfico dessa parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos rearrumar a equação para deixá-la na forma reduzida da parábola vertical. A forma padrão para uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
Aqui,
é o vértice da parábola e
indica a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Vamos pegar a equação dada e reorganizar:
Agora, comparando com a forma padrão:
Então, temos
,
e
, o que dá
.
Passo 3
Com esses valores, podemos identificar o vértice da parábola. O vértice
é:
Isso significa que a parábola está centrada no ponto
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o foco da parábola. O foco fica a uma distância
acima do vértice (já que a parábola abre para cima, porque o coeficiente de
é positivo).
Então:
Passo 5
Em seguida, vamos determinar a diretriz. A diretriz é uma reta horizontal que fica a uma distância
abaixo do vértice.
Portanto, a equação da diretriz é:
Passo 6
Por último, vamos fazer um esboço do gráfico da parábola utilizando os elementos que encontramos: vértice, foco e diretriz.
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz:
A parábola abre para cima, já que
é positivo.
Resposta
A equação reduzida da parábola é:
Vértice:
Foco:
Diretriz:
O esboço do gráfico mostra uma parábola com vértice em
, abrindo para cima, foco em
e diretriz na reta
.