Seja d a distância entre os pontos A=(1,3,4) e B=(2,1,2). Seja P o ponto de coordenadas (d, d^2, d^3). Calcular a distância do ponto P ao plano pi, dado pela equação x-y+z-18=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos no espaço, e . A distância entre esses dois pontos é representada por . Depois, temos um ponto com coordenadas . Finalmente, precisamos calcular a distância desse ponto ao plano , cuja equação é .
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Calcular a distância entre os pontos e .
  2. Determinar as coordenadas de usando .
  3. Usar a fórmula da distância de um ponto a um plano para encontrar a distância de ao plano .

Passo 2

Vamos começar calculando a distância d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 entre os pontos d = raiz(2 - 1)^2 + (1 - 3)^2 + (2 - 4)^2 = raiz1^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3 e . A fórmula para a distância entre dois pontos no espaço tridimensional é:
Substituindo as coordenadas de e :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos determinar as coordenadas do ponto P = (3, 3^2, 3^3) = (3, 9, 27) usando o valor de que acabamos de encontrar. As coordenadas de são . Substituindo :
Portanto, as coordenadas de são .

Passo 4

Agora, precisamos calcular a distância do ponto Distância = |a x0 + b y0 + c z0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 ao plano Distância = |1 cdot 3 + (-1) cdot 9 + 1 cdot 27 - 18|raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = |3 - 9 + 27 - 18|raiz1 + 1 + 1 = |3|raiz3 = 3raiz3 = raiz3 cuja equação é . A fórmula para a distância de um ponto a um plano é:
â
No nosso caso, a equação do plano é , então os coeficientes são , , e . O ponto tem coordenadas .
Substituindo na fórmula:
â

Resposta

A distância do ponto ao plano é unidades.

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