Determine a equação reduzida, o foco, a diretriz, o vértice e faça um esboço do gráfico das seguintes parábolas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de parábola:
. A matéria envolvida aqui é a geometria analítica, mais especificamente o estudo das parábolas. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado e transformar a equação na forma reduzida da parábola. Assim, conseguiremos identificar o vértice, o foco, a diretriz e também esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o processo de completar o quadrado. Vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado no lado esquerdo da equação. Para isso, pegamos o coeficiente de
, que é 6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos esse valor aos dois lados da equação:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos isolar
para chegar à forma padrão da parábola:
A forma padrão de uma parábola com eixo paralelo ao eixo
é
, onde
é o vértice e
determina a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Comparando com nossa equação:
-
-
-
→
Então:
- Vértice:
- Foco: Como
e a parábola abre para a direita, o foco está a 3 unidades à direita do vértice: - Diretriz: É uma reta vertical à esquerda do vértice, a uma distância de
:
Resposta
A equação reduzida da parábola é
. O vértice está em
, o foco em
, e a diretriz é a reta
. O gráfico é uma parábola que se abre para a direita com esses elementos.