Determine a equação reduzida, o foco, a diretriz, o vértice e faça um esboço do gráfico das seguintes parábolas: y^2-12 x+6 y-39=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de parábola: . A matéria envolvida aqui é a geometria analítica, mais especificamente o estudo das parábolas. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado e transformar a equação na forma reduzida da parábola. Assim, conseguiremos identificar o vértice, o foco, a diretriz e também esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o processo de completar o quadrado. Vamos agrupar os termos que contêm y^2 + 6y = 12x + 39 :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado no lado esquerdo da equação. Para isso, pegamos o coeficiente de (62)^2 = 9 , que é 6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
y^2 + 6y + 9 = 12x + 39 + 9
Adicionamos esse valor aos dois lados da equação:
(y + 3)^2 = 12x + 48
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos isolar (y + 3)^2 = 12(x + 4) para chegar à forma padrão da parábola:
A forma padrão de uma parábola com eixo paralelo ao eixo é , onde é o vértice e determina a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Comparando com nossa equação:
Então:
  • Vértice:
  • Foco: Como e a parábola abre para a direita, o foco está a 3 unidades à direita do vértice:
  • Diretriz: É uma reta vertical à esquerda do vértice, a uma distância de :

Resposta

A equação reduzida da parábola é . O vértice está em , o foco em , e a diretriz é a reta . O gráfico é uma parábola que se abre para a direita com esses elementos.

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