Classifique as seguintes equações diferenciais em homogéneas ou exatas e encontre a solução pelo respectivo método.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para classificar a equação
como homogênea ou exata e, depois, encontrar a solução usando o método apropriado. Para isso, vamos entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e homogêneas e usar esses conceitos para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, vamos verificar se ela é homogênea. Uma equação é homogênea se tanto
quanto
forem funções homogêneas do mesmo grau. Uma funç��o
é homogênea de grau
se
para todo
.
Vamos analisar:
-
é uma função homogênea de grau 1, porque . -
também é uma função homogênea de grau 1, pois .
Como ambos são homogêneos de grau 1, a equação é homogênea.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos resolver usando a substituição
. Isso simplifica a equação, permitindo que a resolvamos mais facilmente.
Vamos expressar
em termos de
:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Substituímos
e
na equação original:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 6
Vamos expandir e simplificar a expressão:
Simplificando os termos:
O que reduz para:
Isolando
:
Passo 7
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Dividindo a fração no lado esquerdo:
Integrando termo a termo:
Substituindo
de volta:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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(justifique sua escolha) tal que:
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