Classifique as seguintes equações diferenciais em homogéneas ou exatas e encontre a solução pelo respectivo método.
(x+y) dx - (x-y) dy = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para classificar a equação como homogênea ou exata e, depois, encontrar a solução usando o método apropriado. Para isso, vamos entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e homogêneas e usar esses conceitos para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x, ou seja, .
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, vamos verificar se ela é homogênea. Uma equação é homogênea se tanto M(x, y) quanto N(x, y) forem funções homogêneas do mesmo grau. Uma funç��o f(x, y) é homogênea de grau n se para todo t.
Vamos analisar:
  • é uma função homogênea de grau 1, porque .
  • também é uma função homogênea de grau 1, pois .
Como ambos são homogêneos de grau 1, a equação é homogênea.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos resolver usando a substituição . Isso simplifica a equação, permitindo que a resolvamos mais facilmente.
Vamos expressar y em termos de v:
Derivando ambos os lados em relação a x:

Passo 5

Substituímos y e na equação original:
Substituindo e :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por x (assumindo x != 0):

Passo 6

Vamos expandir e simplificar a expressão:
Simplificando os termos:
O que reduz para:
Isolando :

Passo 7

Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Dividindo a fração no lado esquerdo:
Integrando termo a termo:
Substituindo de volta:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde C é a constante de integração.

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