Determine uma função f(x, y) (justifique sua escolha) tal que:
l partial fpartial x=3 x^2 y^2-6 y partial fpartial y=2 x^3 y-6 x+yy^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma função que satisfaça certas derivadas parciais. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar integrar as derivadas fornecidas e garantir que elas sejam consistentes entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a derivada parcial de partial fpartial x = 3x^2y^2 - 6y em relação a f(x, y) = integral (3x^2y^2 - 6y) , dx = y^2x^3 - 6xy + g(y) :
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que a constante de integração pode variar com .

Passo 3

Agora, vamos usar a outra derivada parcial fornecida para encontrar partial fpartial y = 2x^3y - 6x + yy^2 + 1 :
partial fpartial y = 2x^3y - 6x + g'(y)
Calculando a derivada de 2x^3y - 6x + g'(y) = 2x^3y - 6x + yy^2 + 1 que encontramos:
g'(y) = yy^2 + 1
Igualando as duas expressões de :
Percebemos que:

Passo 4

Vamos integrar g(y) = integral yy^2 + 1 , dy para encontrar g(y) = 12 ln(y^2 + 1) + C :
Fazendo a substituição , , então:
Onde é a constante de integração, que podemos desconsiderar para simplificar.

Passo 5

Agora, substituímos f(x, y) = y^2x^3 - 6xy + 12 ln(y^2 + 1) na expressão de :

Resposta

A função desejada é:
f(x, y) = x^3y^2 - 6xy + 12 ln(y^2 + 1)

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