Determine uma função
(justifique sua escolha) tal que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma função
que satisfaça certas derivadas parciais. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar integrar as derivadas fornecidas e garantir que elas sejam consistentes entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a derivada parcial de
em relação a
:
Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a constante de integração pode variar com
.
Passo 3
Agora, vamos usar a outra derivada parcial fornecida para encontrar
:
Calculando a derivada de
que encontramos:
Igualando as duas expressões de
:
Percebemos que:
Passo 4
Vamos integrar
para encontrar
:
Fazendo a substituição
,
, então:
Onde
é a constante de integração, que podemos desconsiderar para simplificar.
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão de
:
Resposta
A função desejada é: