Resolva o scguinte problema de valor inicial
{ y * y' = x, y(3) = 2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial, que basicamente relaciona uma função com suas derivadas. O que precisamos encontrar é a função que satisfaz a equação e passa pelo ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução. Temos:
Nesse caso, podemos usar o método de separação de variáveis, que nos permite separar e de um lado e e do outro.

Passo 3

Vamos isolar os termos de e de um lado e os de e do outro:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de é:
E a integral de é:
Onde e são constantes de integração.

Passo 5

Igualando as integrais e juntando as constantes em uma única constante , temos:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo:

Passo 7

Substituindo o valor de de volta na equação, temos:
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Considerando que é positivo, mantemos a raiz positiva.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Classifique as seguintes equações diferenciais em homogéneas ou exatas e encontre a solução pelo respectivo método.
(x+y) dx - (x-y) dy = 0.
Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral de
d y/d x + 2 x y = x
Resolva a seguinte equação diferencial pelo método dos coeficientes indeterminados
y'' - y' + y = 2 cos(3x)
Resolva a seguinte equação diferencial pelo método da variação dos parámetros
y'' + 4y = e^(2x) / 2
Defina um intervalo na qual a solução geral seja válida.