Resolva o scguinte problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial, que basicamente relaciona uma função com suas derivadas. O que precisamos encontrar é a função
que satisfaz a equação
e passa pelo ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução. Temos:
Nesse caso, podemos usar o método de separação de variáveis, que nos permite separar
e
de um lado e
e
do outro.
Passo 3
Vamos isolar os termos de
e
de um lado e os de
e
do outro:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
é:
E a integral de
é:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 5
Igualando as integrais e juntando as constantes em uma única constante
, temos:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo:
Passo 7
Substituindo o valor de
de volta na equação, temos:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Considerando que
é positivo, mantemos a raiz positiva.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Classifique as seguintes equações diferenciais em homogéneas ou exatas e encontre a solução pelo respectivo método.
.
Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral de
Resolva a seguinte equação diferencial pelo método dos coeficientes indeterminados
Resolva a seguinte equação diferencial pelo método da variação dos parámetros
Defina um intervalo na qual a solução geral seja válida.