Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral de
d y/d x + 2 x y = x

Passo 1

Beleza, temos aqui uma equação diferencial que precisa ser resolvida usando o método do fator integrante. A equação dada é:
Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem e aplicar o método do fator integrante para encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação diferencial na forma padrão:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma forma que permite integrar facilmente.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral à esquerda se simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral à direita. Fazendo a substituição , então , ou seja, :

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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