Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral de
Passo 1
Beleza, temos aqui uma equação diferencial que precisa ser resolvida usando o método do fator integrante. A equação dada é:
Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem e aplicar o método do fator integrante para encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação diferencial na forma padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma forma que permite integrar facilmente.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral à esquerda se simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral à direita. Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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(justifique sua escolha) tal que:
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e
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Sugestão: Use o teorema de Green.
Classifique as seguintes equações diferenciais em homogéneas ou exatas e encontre a solução pelo respectivo método.
.
Resolva o scguinte problema de valor inicial