Classifique as seguintes equações diferenciais segundo a ordem e a linearidade. Determine a função incógnita e a variável independente.
(4) (1+x^3) f'' - 3 x^4 f' + 2 f = tan(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e precisa classificá-la. Isso significa identificar a ordem, verificar se ela é linear ou não linear, e determinar qual é a função incógnita e a variável independente. A equação que vamos analisar é:
Aqui, f é a função que queremos encontrar (função incógnita) e x é a variável independente.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a ordem da equação diferencial. A ordem é o maior derivado que aparece na equação.
Na nossa equação, temos (segunda derivada), (primeira derivada) e f (função sem derivada). O maior derivado é a segunda derivada, então a equação é de segunda ordem.

Passo 3

Agora, vamos ver se a equação é linear ou não linear. Uma equação diferencial é linear se a função incógnita e todas as suas derivadas aparecem de forma linear, ou seja, sem serem multiplicadas entre si ou aplicadas alguma função não linear.
Olha a nossa equação:
Aqui, , , e f aparecem multiplicados por funções de x (como , e ), mas não estão multiplicados entre si nem dentro de funções não lineares. Então, a equação é linear.

Passo 4

Vamos resumir tudo:
  • Ordem: Segunda ordem (porque a maior derivada é ).
  • Linearidade: Linear (as funções e suas derivadas aparecem de forma linear).
  • Função incógnita: f.
  • Variável independente: x.

Resposta

A equação diferencial é uma equação linear de segunda ordem, onde a função incógnita é f e a variável independente é x.

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