Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
y'' + 4y = e^t + delta(t - pi), y(0) = 0, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. A gente tem a equação com condições iniciais e . A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver esse tipo de equação, especialmente quando temos funções complicadas como a exponencial e a delta de Dirac.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de é , onde é a Transformada de .

Passo 3

Substituindo as condições iniciais e , a Transformada de fica .

Passo 4

Aplicando a Transformada de Laplace na equação completa:
Aqui, usei que a Transformada de é e a Transformada de é .

Passo 5

Agora, vamos isolar :

Passo 6

Para encontrar , precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace. Vamos separar em duas partes:

Passo 7

Começando com , vamos fazer a decomposição em frações parciais:
Resolvendo para A, B e C, encontramos:
Então,

Passo 8

Tomando a Transformada Inversa de Laplace de cada termo:
Portanto,

Passo 9

Agora, para , usamos a propriedade da Transformada de Laplace que lida com deslocamentos no tempo:
Aqui, e , então:

Passo 10

Finalmente, somando as duas partes e , temos a solução completa:

Resposta

A solução da equação diferencial é

Exercícios relacionados

Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
L{f(t)}, onde f(t) = { t se 0 <= t < 4; e^t se t >= 4 }
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
L{t e^t sen t}
Encontre a solução geral da equação não homogênea
x^2 y'' - 2 x y' + 2 y = x^4 e^(3 x)
Classifique as seguintes equações diferenciais segundo a ordem e a linearidade. Determine a função incógnita e a variável independente.
(1) x''' + 3 t x'' = ln x
(2) x^3 y^4 + x 3 y'' + 7 x = 0
(3) y^2 d^3 x / d y^3 = 2 x^2 - y
(4) (1+x^3) f'' - 3 x^4 f' + 2 f = tan(x)
(5) d^2 f / d x^2 + ln x d f / d y = 2 x
(6) d^4 x / dy^4 + (dx / dy)^5 = cos x