Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. A gente tem a equação
com condições iniciais
e
. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver esse tipo de equação, especialmente quando temos funções complicadas como a exponencial e a delta de Dirac.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de
é
, onde
é a Transformada de
.
Passo 3
Substituindo as condições iniciais
e
, a Transformada de
fica
.
Passo 4
Aplicando a Transformada de Laplace na equação completa:
Aqui, usei que a Transformada de
é
e a Transformada de
é
.
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Passo 6
Para encontrar
, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace. Vamos separar em duas partes:
Passo 7
Começando com
, vamos fazer a decomposição em frações parciais:
Resolvendo para A, B e C, encontramos:
Então,
Passo 8
Tomando a Transformada Inversa de Laplace de cada termo:
Portanto,
Passo 9
Agora, para
, usamos a propriedade da Transformada de Laplace que lida com deslocamentos no tempo:
Aqui,
e
, então:
Passo 10
Finalmente, somando as duas partes
e
, temos a solução completa:
Resposta
A solução da equação diferencial é
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, onde
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