Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
y'' + 4y = e^t + delta(t - pi), y(0) = 0, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. A gente tem a equação com condições iniciais e . A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver esse tipo de equação, especialmente quando temos funções complicadas como a exponencial e a delta de Dirac.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de é , onde é a Transformada de .

Passo 3

Substituindo as condições iniciais e , a Transformada de fica .

Passo 4

Aplicando a Transformada de Laplace na equação completa:
Aqui, usei que a Transformada de é e a Transformada de é .

Passo 5

Agora, vamos isolar :

Passo 6

Para encontrar , precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace. Vamos separar em duas partes:

Passo 7

Começando com , vamos fazer a decomposição em frações parciais:
Resolvendo para A, B e C, encontramos:
Então,

Passo 8

Tomando a Transformada Inversa de Laplace de cada termo:
Portanto,

Passo 9

Agora, para , usamos a propriedade da Transformada de Laplace que lida com deslocamentos no tempo:
Aqui, e , então:

Passo 10

Finalmente, somando as duas partes e , temos a solução completa:

Resposta

A solução da equação diferencial é

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