Classifique as seguintes matrizes em positiva definida ou positiva semi definida
a) [ccc4 & 1 & 2 1 & 4 & -1 2 & -1 & 4]
b) [ccc1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1]
c) [ccc2 & 1 & -1 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa classificar três matrizes como positiva definida ou positiva semi-definida. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre propriedades das matrizes. Para fazer isso, vamos analisar os determinantes dos menores principais de cada matriz. Se todos os determinantes forem positivos, a matriz é positiva definida. Se alguns forem zero e os outros positivos, ela é positiva semi-definida.

Passo 2

Vamos começar com a matriz a):
A = 4 & 1 & 2 1 & 4 & -1 2 & -1 & 4
Primeiro, vamos verificar se a matriz é simétrica, o que é importante para aplicar esse método. Olhando para a matriz, vemos que D1 = 4 , então está simétrica.
Agora, vamos calcular os menores principais:
  1. Primeiro menor (1x1):
D2 = 4 & 1 1 & 4 = (4)(4) - (1)(1) = 16 - 1 = 15
Como D3 = 4 & 1 & 2 1 & 4 & -1 2 & -1 & 4 , está bom.
  1. Segundo menor (2x2):
D3 = 4(4 cdot 4 - (-1) cdot (-1)) - 1(1 cdot 4 - 2 cdot (-1)) + 2(1 cdot (-1) - 4 cdot 2)
Como D3 = 4(16 - 1) - 1(4 + 2) + 2(-1 - 8) , continuamos.
  1. Terceiro menor (3x3):
D3 = 4(15) - 1(6) + 2(-9) = 60 - 6 - 18 = 36
Calculando o determinante:
Como , todos os menores principais são positivos.

Passo 3

Agora, vamos para a matriz b):
B = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1
Essa matriz também é simétrica, pois D1 = 1 .
Vamos calcular os menores principais:
  1. Primeiro menor (1x1):
D2 = 1 & 0 0 & 1 = (1)(1) - (0)(0) = 1
Como D3 = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 , está ok.
  1. Segundo menor (2x2):
D3 = 1(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 0(0 cdot 1 - (-1) cdot 0) + (-1)(0 cdot 0 - 1 cdot (-1))
Como D3 = 1(1) - 0(0) + (-1)(0 + 1) = 1 - 0 - 1 = 0 , seguimos.
  1. Terceiro menor (3x3):
Calculando o determinante:
Aqui, , então temos um menor principal igual a zero.

Passo 4

Agora, a matriz c):
C = 2 & 1 & -1 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 2
Verificamos que é simétrica, já que D1 = 2 .
Vamos aos menores principais:
  1. Primeiro menor (1x1):
D2 = 2 & 1 1 & 2 = (2)(2) - (1)(1) = 4 - 1 = 3
Como D3 = 2 & 1 & -1 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 2 , está tranquilo.
  1. Segundo menor (2x2):
D3 = 2(2 cdot 2 - 1 cdot 1) - 1(1 cdot 2 - (-1) cdot 1) + (-1)(1 cdot 1 - 2 cdot (-1))
Como D3 = 2(4 - 1) - 1(2 + 1) + (-1)(1 + 2) = 2(3) - 1(3) - 1(3) = 6 - 3 - 3 = 0 , vamos para o próximo.
  1. Terceiro menor (3x3):
Calculando o determinante:
Aqui também, .

Resposta

  • Matriz a) é positiva definida, já que todos os menores principais são positivos.
  • Matriz b) é positiva semi-definida, pois o último menor principal é zero.
  • Matriz c) é positiva semi-definida, já que o último menor principal também é zero.

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