Prove que 5 x1^2+4 x1 x2+4 x2^2>0, forall(x1, x2) in R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a expressão é sempre maior que zero para qualquer par de números reais e . Isso está relacionado ao estudo de formas quadráticas na álgebra linear. Para resolver isso, vamos ver se essa expressão forma uma forma quadrática positiva definida, ou seja, que sempre dá um resultado positivo, a menos que e sejam ambos zero.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a expressão na forma matricial. Uma forma quadrática geral em duas variáveis pode ser escrita como:
x^T A x
onde x1 x2 e A = 5 & 2 2 & 4 é uma matriz simétrica. No nosso caso, a matriz x1 & x2 será:
5 & 2 2 & 4
Isso porque x1 x2 pode ser reescrito como .

Passo 3

Agora, para garantir que essa forma quadrática seja sempre positiva, precisamos verificar se a matriz é definida positiva. Existem alguns critérios para isso, mas vamos usar o determinante da matriz e os minores principais.
Primeiro, o primeiro menor principal é o elemento , que é 5. Como é positivo, seguimos para o próximo passo.

Passo 4

O segundo menor principal é o determinante da matriz det(A) = (5)(4) - (2)(2) = 20 - 4 = 16 . Calculamos o determinante assim:
Como o determinante é positivo (16 > 0), isso confirma que a matriz é definida positiva.

Passo 5

Com a matriz 5 x1^2 + 4 x1 x2 + 4 x2^2 > 0 forall (x1, x2) in R^2 sendo definida positiva, podemos concluir que para qualquer vetor , a forma quadrática será sempre positiva. Ou seja:

Resposta

Portanto, provamos que é sempre maior que zero para quaisquer números reais e .

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