Classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD:
(1,-1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1,-1),(1,2,1,-2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar um conjunto de vetores como Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa esses termos e usar algumas técnicas de matrizes para verificar a relação entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os vetores que temos:
, (1, -1, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, -1), (1, 2, 1, -2) ,
Todos esses vetores estão no espaço , ou seja, cada vetor tem 4 componentes.

Passo 3

Para verificar se esses vetores são linearmente independentes, vamos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna:
A = 1 & 0 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & -1 & -2
A ideia é ver se essa matriz tem posto igual ao número de vetores, que aqui são 4. Se o posto for menor que 4, significa que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 4

Vamos transformar essa matriz em forma escalonada usando operações elementares:
  1. Linha 1 (L1) já está boa: L2 = L2 + L1 Rightarrow [0 1 0 3] .
  2. Linha 2 (L2): Vamos somar L1 na L2 para eliminar o -1:
L4 = L4 + L3 Rightarrow [0 0 0 -1]
  1. Linha 3 (L3) já está boa: A = 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & -1 .
  2. Linha 4 (L4): Vamos somar L3 na L4 para eliminar o -1:
A matriz fica assim:
Agora, observamos que há pivôs em todas as colunas, ou seja, o posto da matriz é 4.

Resposta

Como o posto da matriz é igual ao número de vetores, os vetores são Linearmente Independentes (LI).

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