No corpo
, resolva:
A equação
A equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
no conjunto dos inteiros módulo 11, que a gente escreve como
. Isso está dentro da matéria de aritmética modular, onde trabalhamos com restos da divisão por um número, nesse caso, 11. Para resolver, vamos precisar entender como manipular equações nesse sistema e utilizar fatores para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação
de uma forma que seja mais fácil de resolver. Subtraindo
de ambos os lados, ficamos com:
Isso nos ajuda a ver a equação como um polinômio igual a zero, o que facilita a fatoração.
Passo 3
Agora, vamos fatorar o polinômio
. Podemos colocar
em evidência:
Perceba que
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada ainda mais.
Passo 4
Fatorando
, temos:
Agora, a equação está completamente fatorada, o que torna mais fácil encontrar as soluções.
Passo 5
Para que o produto seja zero em
, pelo menos um dos fatores deve ser igual a zero. Assim, temos três possibilidades:
-
-
que significa -
que significa
Passo 6
Vamos interpretar
. Em módulo 11,
é o mesmo que
, pois
. Então, a terceira solução fica:
Resposta
As soluções da equação
em
são:
Exercícios relacionados
Classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD:
Suponha que
e
são anéis comutativos com 1. Seja
um homomorfismo de anéis e
um ideal de
. Prove que:
(a) Se é um ideal primo de
então
é um ideal primo em
.
(b) Se é um ideal maximal em
então
é maximal em
.
(a) Se
(b) Se
Determine a matriz de passagem da base
para a base
:
(a)
(a)
Considerando a definição de elemento invertível em um anel, responda aos questionamentos abaixo:
Quem são os elementos invertíveis no anel dos racionais?
Quem são os elementos invertíveis no anel dos racionais?