No corpo , resolva:
A equação

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação no conjunto dos inteiros módulo 11, que a gente escreve como . Isso está dentro da matéria de aritmética modular, onde trabalhamos com restos da divisão por um número, nesse caso, 11. Para resolver, vamos precisar entender como manipular equações nesse sistema e utilizar fatores para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que seja mais fácil de resolver. Subtraindo de ambos os lados, ficamos com:
Isso nos ajuda a ver a equação como um polinômio igual a zero, o que facilita a fatoração.

Passo 3

Agora, vamos fatorar o polinômio . Podemos colocar em evidência:
Perceba que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada ainda mais.

Passo 4

Fatorando , temos:
Agora, a equação está completamente fatorada, o que torna mais fácil encontrar as soluções.

Passo 5

Para que o produto seja zero em , pelo menos um dos fatores deve ser igual a zero. Assim, temos três possibilidades:
  1. que significa
  2. que significa

Passo 6

Vamos interpretar . Em módulo 11, é o mesmo que , pois . Então, a terceira solução fica:

Resposta

As soluções da equação em são:

Exercícios relacionados

Classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD:
Suponha que e são anéis comutativos com 1. Seja um homomorfismo de anéis e um ideal de . Prove que:
(a) Se é um ideal primo de então é um ideal primo em .
(b) Se é um ideal maximal em então é maximal em .
Determine a matriz de passagem da base para a base :
(a)
Considerando a definição de elemento invertível em um anel, responda aos questionamentos abaixo:
Quem são os elementos invertíveis no anel dos racionais?