No corpo Z11, resolva:
A equação x^3=x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação no conjunto dos inteiros módulo 11, que a gente escreve como . Isso está dentro da matéria de aritmética modular, onde trabalhamos com restos da divisão por um número, nesse caso, 11. Para resolver, vamos precisar entender como manipular equações nesse sistema e utilizar fatores para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação x^3 - x = 0 de uma forma que seja mais fácil de resolver. Subtraindo de ambos os lados, ficamos com:
Isso nos ajuda a ver a equação como um polinômio igual a zero, o que facilita a fatoração.

Passo 3

Agora, vamos fatorar o polinômio x(x^2 - 1) = 0 . Podemos colocar em evidência:
Perceba que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada ainda mais.

Passo 4

Fatorando x(x - 1)(x + 1) = 0 , temos:
Agora, a equação está completamente fatorada, o que torna mais fácil encontrar as soluções.

Passo 5

Para que o produto seja zero em , pelo menos um dos fatores deve ser igual a zero. Assim, temos três possibilidades:
  1. que significa
  2. que significa

Passo 6

Vamos interpretar x equiv 10 mod11 . Em módulo 11, é o mesmo que , pois . Então, a terceira solução fica:

Resposta

As soluções da equação x equiv 0, x equiv 1, e x equiv 10 mod11 em são:

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