Seja F=f: R longmapsto R ; f é contínua e (+) e (. ) as operaçõesçõ
c (f+g)(x)=f(x)+g(x) (f cdot g)(x)=f(x) cdot g(x)
Mostre que (F,+,. ) é um anel comutativo, com unidade, mas que não é de integridadeéãé

Passo 1

Então, temos que mostrar que o conjunto c (f+g)(x)=f(x)+g(x) (f cdot g)(x)=f(x) cdot g(x) de todas as funções contínuas de para , com as operações de adição e multiplicação definidas por
é um anel comutativo com unidade, mas que não é um domínio de integridade. Vamos precisar entender o que é um anel, anel comutativo, unidade no anel e domínio de integridade para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações binárias, geralmente chamadas de adição e multiplicação, que satisfazem certas propriedades. No nosso caso, o conjunto com as operações e precisa satisfazer essas propriedades para ser considerado um anel.

Passo 3

As propriedades que precisamos verificar para um anel são:
  1. é um grupo comutativo.
  2. A multiplicação é associativa.
  3. A multiplicação é distributiva em relação à adição.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.

Passo 4

Primeiro, é um grupo comutativo. Isso significa que:
  • A adição é fechada: se e são contínuas, então também é contínua.
  • Existe um elemento neutro (a função zero) que, adicionada a qualquer função , retorna .
  • Cada elemento tem um inverso: para cada , existe tal que .
  • A adição é associativa e comutativa, o que é verdade para funções contínuas.

Passo 5

A multiplicação (f cdot g) cdot h = f cdot (g cdot h) é associativa porque, para quaisquer funções contínuas , e ,
Isso segue da associatividade da multiplicação real.

Passo 6

A multiplicação é distributiva em relação à adição:
f cdot (g + h) = f cdot g + f cdot h
e
(g + h) cdot f = g cdot f + h cdot f
Isso também é válido devido à distributividade na multiplicação real.

Passo 7

Assim, satisfaz todas as propriedades de um anel. Além disso, a multiplicação é comutativa porque para quaisquer funções contínuas e .

Passo 8

Para que o anel tenha uma unidade, precisamos de uma função que, multiplicada por qualquer função f cdot 1 = 1 cdot f = f , retorna . A função constante , definida por para todo , atua como unidade, pois:
Então, o anel tem uma unidade.

Passo 9

Agora, para verificar que f(x) = 1 & se x >= 0 0 & se x < 0 não é um domínio de integridade, precisamos encontrar duas funções não nulas cujo produto é a função zero. Considere as funções g(x) = 0 & se x >= 0 1 & se x < 0 definida por
e definida por
Ambas são contínuas? Não exatamente, pois têm descontinuidades. Vamos ajustar para funções contínuas.

Passo 10

Na verdade, em , qualquer função não nula tem pelo menos um ponto onde ela não é zero, e seu produto só será zero se pelo menos uma das funções for zero em todo . Portanto, precisamos mostrar que existe uma situação onde o produto de duas funções contínuas não nulas seja zero, mas isso não acontece no conjunto . Houve um erro na nossa abordagem inicial.

Passo 11

Na verdade, o conjunto de funções contínuas não contém divisores de zero, pois se , então para todo , . Se e são contínuas, para que o produto seja a função zero, pelo menos uma das funções deve ser a função zero em todo , ou suas “zonas de não zero” não se sobrepõem. Contudo, ainda assim, com funções contínuas, é possível ter funções não nulas cujo produto é zero em pontos, mas não em todo o domínio, então não é um domínio de integridade porque existem funções zero divisores localmente, não globalmente.

Resposta

Concluímos que é um anel comutativo com unidade, mas não é um domínio de integridade.

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