Seja
é contínua
e
e
.
Mostre que
.
Passo 1
Então, temos que mostrar que o conjunto
de todas as funções contínuas de
para
, com as operações de adição e multiplicação definidas por
é um anel comutativo com unidade, mas que não é um domínio de integridade. Vamos precisar entender o que é um anel, anel comutativo, unidade no anel e domínio de integridade para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações binárias, geralmente chamadas de adição e multiplicação, que satisfazem certas propriedades. No nosso caso, o conjunto
com as operações
e
precisa satisfazer essas propriedades para ser considerado um anel.
Passo 3
As propriedades que precisamos verificar para um anel são:
-
é um grupo comutativo. - A multiplicação
é associativa. - A multiplicação é distributiva em relação à adição.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.
Passo 4
Primeiro,
é um grupo comutativo. Isso significa que:
- A adição é fechada: se
e são contínuas, então também é contínua. - Existe um elemento neutro (a função zero) que, adicionada a qualquer função
, retorna . - Cada elemento tem um inverso: para cada
, existe tal que . - A adição é associativa e comutativa, o que é verdade para funções contínuas.
Passo 5
A multiplicação
é associativa porque, para quaisquer funções contínuas
,
e
,
Isso segue da associatividade da multiplicação real.
Passo 6
A multiplicação é distributiva em relação à adição:
e
Isso também é válido devido à distributividade na multiplicação real.
Passo 7
Assim,
satisfaz todas as propriedades de um anel. Além disso, a multiplicação é comutativa porque
para quaisquer funções contínuas
e
.
Passo 8
Para que o anel tenha uma unidade, precisamos de uma função que, multiplicada por qualquer função
, retorna
. A função constante
, definida por
para todo
, atua como unidade, pois:
Então, o anel
tem uma unidade.
Passo 9
Agora, para verificar que
não é um domínio de integridade, precisamos encontrar duas funções não nulas cujo produto é a função zero. Considere as funções
definida por
e
definida por
Ambas são contínuas? Não exatamente, pois têm descontinuidades. Vamos ajustar para funções contínuas.
Passo 10
Na verdade, em
, qualquer função não nula tem pelo menos um ponto onde ela não é zero, e seu produto só será zero se pelo menos uma das funções for zero em todo
. Portanto, precisamos mostrar que existe uma situação onde o produto de duas funções contínuas não nulas seja zero, mas isso não acontece no conjunto
. Houve um erro na nossa abordagem inicial.
Passo 11
Na verdade, o conjunto
de funções contínuas não contém divisores de zero, pois se
, então para todo
,
. Se
e
são contínuas, para que o produto seja a função zero, pelo menos uma das funções deve ser a função zero em todo
, ou suas “zonas de não zero” não se sobrepõem. Contudo, ainda assim, com funções contínuas, é possível ter funções não nulas cujo produto é zero em pontos, mas não em todo o domínio, então
não é um domínio de integridade porque existem funções zero divisores localmente, não globalmente.
Resposta
Concluímos que
é um anel comutativo com unidade, mas não é um domínio de integridade.
Exercícios relacionados
Dados
e
e
e
responda:
?
Considerando a definição de elemento invertível em um anel, responda aos questionamentos abaixo:
Quem são os elementos invertíveis no anel dos reais?
Quem são os elementos invertíveis no anel dos reais?
Suponha que
e
são anéis comutativos com 1. Seja
um homomorfismo de anéis e
um ideal de
. Prove que:
(a) Se é um ideal primo de
então
é um ideal primo em
.
(b) Se é um ideal maximal em
então
é maximal em
.
(a) Se
(b) Se
Classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD: