Suponha que
e
são anéis comutativos com 1. Seja
um homomorfismo de anéis e
um ideal de
. Prove que:
(a) Se
é um ideal primo de
então
é um ideal primo em
.
(b) Se
é um ideal maximal em
então
é maximal em
.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois anéis comutativos com identidade,
e
, e uma função chamada homomorfismo de anéis,
. Também temos
que é um ideal de
. Nosso objetivo é provar duas coisas:
(a) Se
é um ideal primo em
, então o conjunto
é um ideal primo em
.
(b) Se
é um ideal maximal em
, então
é maximal em
.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos importantes:
- Homomorfismo de Anéis: Uma função entre anéis que preserva as operações de adição e multiplicação.
- Ideal Primo: Um ideal
onde, se o produto de dois elementos está em , pelo menos um dos elementos está em . - Ideal Maximal: Um ideal
que não está contido em nenhum outro ideal além do próprio anel e do anel inteiro.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Queremos mostrar que se
é um ideal primo em
, então
é um ideal primo em
.
Primeiro, lembramos que o pré-imagem de um ideal sob um homomorfismo de an��is é sempre um ideal. Então,
é de fato um ideal em
. Agora, precisamos provar que ele é primo.
Passo 3
Para provar que
é primo, vamos usar a definição de ideal primo. Precisamos mostrar que se
, então pelo menos um entre
ou
está em
.
Passo 4
Assumindo que
, isso significa que
. Como
é um homomorfismo,
. Então,
.
Passo 5
Como
é um ideal primo em
, se
, então pelo menos um entre
ou
está em
. Ou seja,
ou
.
Passo 6
Isso implica que
ou
. Portanto,
satisfaz a condição para ser um ideal primo em
.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Queremos provar que se
é um ideal maximal em
, então
é maximal em
.
Primeiro, lembramos que um ideal maximal é um ideal que não está contido em nenhum outro ideal além do anel inteiro. Precisamos mostrar que não existe um ideal
em
tal que
, a menos que
ou
.
Passo 8
Suponha que exista um ideal
em
com
. Aplicando
, temos que
é um ideal em
que contém
, já que
.
Passo 9
Como
é maximal em
, o único ideal que contém
é
mesmo. Portanto,
.
Passo 10
Se
, então existe algum
tal que
, onde
é a identidade em
. Isso significa que
(já que
preserva a identidade), então
contém
, o que implica
.
Passo 11
Portanto, não existe nenhum ideal
em
entre
e
além dos próprios
e
. Isso confirma que
é um ideal maximal em
.
Resposta
(a) Se
é um ideal primo em
, então
é um ideal primo em
.
(b) Se
é um ideal maximal em
, então
é um ideal maximal em
.
Exercícios relacionados
Seja
é contínua
e
e
.
Mostre que
.
Dados
e
e
e
responda:
?
Classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD:
No corpo
, resolva:
A equação
A equação