Suponha que e são anéis comutativos com 1. Seja um homomorfismo de anéis e um ideal de . Prove que:
(a) Se é um ideal primo de então é um ideal primo em .
(b) Se é um ideal maximal em então é maximal em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois anéis comutativos com identidade, e , e uma função chamada homomorfismo de anéis, . Também temos que é um ideal de . Nosso objetivo é provar duas coisas:
(a) Se é um ideal primo em , então o conjunto é um ideal primo em .
(b) Se é um ideal maximal em , então é maximal em .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos importantes:
  • Homomorfismo de Anéis: Uma função entre anéis que preserva as operações de adição e multiplicação.
  • Ideal Primo: Um ideal onde, se o produto de dois elementos está em , pelo menos um dos elementos está em .
  • Ideal Maximal: Um ideal que não está contido em nenhum outro ideal além do próprio anel e do anel inteiro.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Queremos mostrar que se é um ideal primo em , então é um ideal primo em .
Primeiro, lembramos que o pré-imagem de um ideal sob um homomorfismo de an��is é sempre um ideal. Então, é de fato um ideal em . Agora, precisamos provar que ele é primo.

Passo 3

Para provar que é primo, vamos usar a definição de ideal primo. Precisamos mostrar que se , então pelo menos um entre ou está em .

Passo 4

Assumindo que , isso significa que . Como é um homomorfismo, . Então, .

Passo 5

Como é um ideal primo em , se , então pelo menos um entre ou está em . Ou seja, ou .

Passo 6

Isso implica que ou . Portanto, satisfaz a condição para ser um ideal primo em .

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Queremos provar que se é um ideal maximal em , então é maximal em .
Primeiro, lembramos que um ideal maximal é um ideal que não está contido em nenhum outro ideal além do anel inteiro. Precisamos mostrar que não existe um ideal em tal que , a menos que ou .

Passo 8

Suponha que exista um ideal em com . Aplicando , temos que é um ideal em que contém , já que .

Passo 9

Como é maximal em , o único ideal que contém é mesmo. Portanto, .

Passo 10

Se , então existe algum tal que , onde é a identidade em . Isso significa que (já que preserva a identidade), então contém , o que implica .

Passo 11

Portanto, não existe nenhum ideal em entre e além dos próprios e . Isso confirma que é um ideal maximal em .

Resposta

(a) Se é um ideal primo em , então é um ideal primo em .
(b) Se é um ideal maximal em , então é um ideal maximal em .

Exercícios relacionados

Seja é contínua e e . çõ
Mostre que . éãé
Dados e e e responda:
?
Classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD:
No corpo , resolva:
A equação