Determine a matriz de passagem da base U para a base V :
(a) U=(1,2),(2,1), V=(1,1),(1,-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a matriz de passagem da base para a base . Primeiro, vamos entender o que cada base representa:
  • Base :
  • Base :
Vamos usar conceitos de mudança de base e sistemas lineares para resolver isso. Precisamos expressar cada vetor de em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos nomear os vetores:
  • P = a & b c & d
Queremos encontrar uma matriz tal que:
onde transforma coordenadas de para .

Passo 3

Para encontrar os elementos de u1 = a cdot v1 + b cdot v2 , precisamos resolver para u2 = c cdot v1 + d cdot v2 as seguintes equações:
(1,2) = a(1,1) + b(1,-1)
1 = a + b (1)
Vamos substituir os valores:
Para 2 = a - b (2) :
Isso dá duas equações:

Passo 4

Resolvendo as equações (1) e (2):
Somando (1) + (2):
1 + 2 = (a + b) + (a - b) Rightarrow 3 = 2a Rightarrow a = 32
Substituindo 1 = 32 + b Rightarrow b = 1 - 32 = -12 na equação (1):
Então, e .

Passo 5

Agora, para (2,1) = c(1,1) + d(1,-1) :
2 = c + d (3)
Isso também dá duas equações:
1 = c - d (4)

Passo 6

Resolvendo as equações (3) e (4):
Somando (3) + (4):
2 + 1 = (c + d) + (c - d) Rightarrow 3 = 2c Rightarrow c = 32
Substituindo 2 = 32 + d Rightarrow d = 2 - 32 = 12 na equação (3):
Então, e .

Resposta

A matriz de passagem da base P = 32 & -12 32 & 12 para a base é:

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