Classifique as seguintes transformações lineares como injetoras, sobrejetoras e/ou bijetoras:
T: R^3 P3 dada por T(a, b, c)=(a-5 b-2 c)+(7 a-36 b-9 c) x+(-4 a+3 b+94 c) x^2+
(3 a-b+10 c) x^3

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos pede para classificar uma transformação linear T: R^3 P3 como injetora, sobrejetora e/ou bijetora. A transformação dada é:
T(a, b, c) = (a - 5b - 2c) + (7a - 36b - 9c)x + (-4a + 3b + 94c)x^2 + (3a - b + 10c)x^3
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com transformações lineares entre espaços vetoriais. Precisaremos entender conceitos de injetividade, sobrejetividade e bijetividade, além de utilizar matrizes e o conceito de posto (rank).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa cada um desses termos:
  • Injetora: Cada vetor no espaço de chegada é imagem de, no máximo, um vetor de . Ou seja, se , então .
  • Sobrejetora: Cada vetor no espaço de chegada é imagem de pelo menos um vetor de . Isso significa que cobre todo o espaço .
  • Bijetora: É tanto injetora quanto sobrejetora. Ou seja, há uma correspondência um a um entre os vetores de e .

Passo 3

Vamos analisar a transformação 1 & -5 & -2 7 & -36 & -9 -4 & 3 & 94 3 & -1 & 10 . Para isso, vamos associar à sua matriz representativa. Considerando que tem dimensão 3 e tem dimensão 4 (polinômios de grau ≤3), a matriz de será uma matriz de tamanho .
A matriz de é formada pelos coeficientes de , e nas expressões de cada termo de :

Passo 4

Para determinar se é injetora, sobrejetora ou bijetora, precisamos verificar o posto (rank) da matriz de .
  • Injetora: é injetora se o núcleo (espaço nulo) de contém apenas o vetor zero. Isso acontece se a matriz de tiver posto igual ao número de colunas, ou seja, 3.
  • Sobrejetora: é sobrejetora se o posto da matriz for igual à dimensão do espaço de chegada, que é 4. No nosso caso, a matriz tem apenas 3 colunas, então o máximo de posto que ela pode ter é 3, que é menor que 4. Portanto, não pode ser sobrejetora.
  • Bijetora: Para ser bijetora, precisa ser tanto injetora quanto sobrejetora. Já vimos que não é sobrejetora, então não pode ser bijetora.

Passo 5

Vamos calcular o posto da matriz para confirmar a injetividade.
A = 1 & -5 & -2 7 & -36 & -9 -4 & 3 & 94 3 & -1 & 10
Aplicamos operações elementares para reduzir a matriz:
  1. Subtrair 7 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 7R1
1 & -5 & -2 0 & -1 & 5 -4 & 3 & 94 3 & -1 & 10
  1. Adicionar 4 vezes a primeira linha à terceira linha:
R3 = R3 + 4R1
1 & -5 & -2 0 & -1 & 5 0 & -17 & 86 3 & -1 & 10
  1. Subtrair 3 vezes a primeira linha da quarta linha:
R4 = R4 - 3R1
1 & -5 & -2 0 & -1 & 5 0 & -17 & 86 0 & 14 & 16
  1. Multiplicar a segunda linha por -1:
R2 = -R2
1 & -5 & -2 0 & 1 & -5 0 & -17 & 86 0 & 14 & 16
  1. Adicionar 17 vezes a segunda linha à terceira linha:
R3 = R3 + 17R2
1 & -5 & -2 0 & 1 & -5 0 & 0 & 1 0 & 14 & 16
  1. Subtrair 14 vezes a segunda linha da quarta linha:
R4 = R4 - 14R2
1 & -5 & -2 0 & 1 & -5 0 & 0 & 1 0 & 0 & 86
  1. Subtrair 86 vezes a terceira linha da quarta linha:
R4 = R4 - 86R3
1 & -5 & -2 0 & 1 & -5 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Agora, a matriz está na forma escalonada, e podemos ver que há 3 pivôs (um em cada das três primeiras linhas). Portanto, o posto da matriz é 3.

Passo 6

Como o posto da matriz é 3, que é igual ao número de colunas, isso significa que a transformação é injetora. Porém, como o espaço de chegada tem dimensão 4 e o posto é 3, não é sobrejetora.

Resposta

A transformação linear é injetora, mas não é sobrejetora, portanto, não é bijetora.

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