Se u, v são vetores de um espaço euclidiano V tais que |u+v|=|u-v|, mostre que u e v são ortogonais.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos dois vetores, e , em um espaço euclidiano . O enunciado nos diz que a norma da soma desses vetores é igual à norma da diferença deles, ou seja, . Nosso objetivo é mostrar que, com essa condição, os vetores e são ortogonais, ou seja, que o produto interno deles é zero ( ).

Passo 2

Vamos começar lembrando que a norma de um vetor |u + v| = raiz(u + v) cdot (u + v) é dada por |u - v| = raiz(u - v) cdot (u - v) . Então, podemos expressar as normas de e dessa forma:

Passo 3

Como sabemos que raiz(u + v) cdot (u + v) = raiz(u - v) cdot (u - v) , podemos igualar as expressões que encontramos:
(u + v) cdot (u + v) = (u - v) cdot (u - v)
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:

Passo 4

Agora, vamos expandir os produtos internos:
u cdot u + 2u cdot v + v cdot v = u cdot u - 2u cdot v + v cdot v
Simplificando ambos os lados, temos:
2u cdot v = -2u cdot v

Passo 5

Somando 4u cdot v = 0 em ambos os lados para isolar o termo:
u cdot v = 0
Dividindo ambos os lados por 4:

Resposta

Os vetores e são ortogonais, ou seja, .

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