Se são vetores de um espaço euclidiano tais que , mostre que e são ortogonais.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos dois vetores, e , em um espaço euclidiano . O enunciado nos diz que a norma da soma desses vetores é igual à norma da diferença deles, ou seja, . Nosso objetivo é mostrar que, com essa condição, os vetores e são ortogonais, ou seja, que o produto interno deles é zero ().
Passo 2
Vamos começar lembrando que a norma de um vetor é dada por . Então, podemos expressar as normas de e dessa forma:
Passo 3
Como sabemos que , podemos igualar as expressões que encontramos:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes: