Se são vetores de um espaço euclidiano tais que , mostre que e são ortogonais.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos dois vetores, e , em um espaço euclidiano . O enunciado nos diz que a norma da soma desses vetores é igual à norma da diferença deles, ou seja, . Nosso objetivo é mostrar que, com essa condição, os vetores e são ortogonais, ou seja, que o produto interno deles é zero ( ).

Passo 2

Vamos começar lembrando que a norma de um vetor é dada por . Então, podemos expressar as normas de e dessa forma:

Passo 3

Como sabemos que , podemos igualar as expressões que encontramos:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:

Passo 4

Agora, vamos expandir os produtos internos:
Simplificando ambos os lados, temos:

Passo 5

Somando em ambos os lados para isolar o termo:
Dividindo ambos os lados por 4:

Resposta

Os vetores e são ortogonais, ou seja, .

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dada por
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