Se
são vetores de um espaço euclidiano
tais que
, mostre que
e
são ortogonais.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos dois vetores,
e
, em um espaço euclidiano
. O enunciado nos diz que a norma da soma desses vetores é igual à norma da diferença deles, ou seja,
. Nosso objetivo é mostrar que, com essa condição, os vetores
e
são ortogonais, ou seja, que o produto interno deles é zero (
).
Passo 2
Vamos começar lembrando que a norma de um vetor
é dada por
. Então, podemos expressar as normas de
e
dessa forma:
Passo 3
Como sabemos que
, podemos igualar as expressões que encontramos:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 4
Agora, vamos expandir os produtos internos:
Simplificando ambos os lados, temos:
Passo 5
Somando
em ambos os lados para isolar o termo:
Dividindo ambos os lados por 4:
Resposta
Os vetores
e
são ortogonais, ou seja,
.