Classifique as seguintes transformações lineares como injetoras, sobrejetoras e/ou bijetoras:
T: P2 R^3 dada por T(a+b x+c x^2)=(a-4 b+10 c,-5 a+19 b-8 c, 3 a-13 b+72 c).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares juntos! A questão pede para a gente classificar a transformação T(a + b x + c x^2) = (a - 4b + 10c, -5a + 19b - 8c, 3a - 13b + 72c) dada por
como injetora, sobrejetora e/ou bijetora. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como injetividade, sobrejetividade e dimensões de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões dos espaços envolvidos. é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, então ele tem dimensão 3 (os coeficientes , e ). Já também tem dimensão 3. Isso é importante porque, quando os espaços têm a mesma dimensão, se a transformação for injetora, ela também será sobrejetora, e vice-versa, tornando-a bijetora.

Passo 3

Agora, para verificar se T(a + b x + c x^2) = (0, 0, 0) é injetora, precisamos ver se o núcleo de a - 4b + 10c = 0 -5a + 19b - 8c = 0 3a - 13b + 72c = 0 (conjunto de todos os polinômios que são mapeados para o vetor zero) contém apenas o vetor zero. Isso significa resolver a equação:
Ou seja,

Passo 4

Vamos montar a matriz dos coeficientes desse sistema:
1 & -4 & 10 -5 & 19 & -8 3 & -13 & 72
E aplicar métodos de eliminação para verificar se a única solução é .

Passo 5

Aplicando a eliminação de Gauss:
  1. Deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1 (já está).
  2. Eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô:
    • Linha 2: -5 + 5(1) = 0, 19 + 5(-4) = -1, -8 + 5(10) = 42 : 3 - 3(1) = 0, -13 - 3(-4) = -1, 72 - 3(10) = 42
    • Linha 3: 1 & -4 & 10 0 & -1 & 42 0 & -1 & 42 :
A matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos eliminar o segundo pivô:
  • Subtrair a Linha 2 da Linha 3: 0 - 0 = 0, -1 - (-1) = 0, 42 - 42 = 0
A matriz fica:
1 & -4 & 10 0 & -1 & 42 0 & 0 & 0

Passo 7

Isso nos mostra que o sistema tem apenas a solução trivial . Portanto, o núcleo de contém apenas o vetor zero, o que significa que é injetora.

Passo 8

Como e têm a mesma dimensão e é injetora, então também é sobrejetora. Portanto, é bijetora.

Resposta

A transformação é injetora, sobrejetora e, portanto, bijetora.

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