Classifique as seguintes transformações lineares como injetoras, sobrejetoras e/ou bijetoras: dada por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares juntos! A questão pede para a gente classificar a transformação dada por
como injetora, sobrejetora e/ou bijetora. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como injetividade, sobrejetividade e dimensões de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões dos espaços envolvidos. é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, então ele tem dimensão 3 (os coeficientes , e ). Já também tem dimensão 3. Isso é importante porque, quando os espaços têm a mesma dimensão, se a transformação for injetora, ela também será sobrejetora, e vice-versa, tornando-a bijetora.
Passo 3
Agora, para verificar se é injetora, precisamos ver se o núcleo de (conjunto de todos os polinômios que são mapeados para o vetor zero) contém apenas o vetor zero. Isso significa resolver a equação:
Ou seja,
Passo 4
Vamos montar a matriz dos coeficientes desse sistema:
E aplicar métodos de eliminação para verificar se a única solução é .
Passo 5
Aplicando a eliminação de Gauss:
Deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1 (já está).
Eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô:
Linha 2: :
Linha 3: :
A matriz fica:
Passo 6
Agora, vamos eliminar o segundo pivô:
Subtrair a Linha 2 da Linha 3:
A matriz fica:
Passo 7
Isso nos mostra que o sistema tem apenas a solução trivial . Portanto, o núcleo de contém apenas o vetor zero, o que significa que é injetora.
Passo 8
Como e têm a mesma dimensão e é injetora, então também é sobrejetora. Portanto, é bijetora.
Resposta
A transformação é injetora, sobrejetora e, portanto, bijetora.