Classifique as seguintes transformações lineares como injetoras, sobrejetoras e/ou bijetoras:
dada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares juntos! A questão pede para a gente classificar a transformação dada por
como injetora, sobrejetora e/ou bijetora. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como injetividade, sobrejetividade e dimensões de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões dos espaços envolvidos. é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, então ele tem dimensão 3 (os coeficientes , e ). Já também tem dimensão 3. Isso é importante porque, quando os espaços têm a mesma dimensão, se a transformação for injetora, ela também será sobrejetora, e vice-versa, tornando-a bijetora.

Passo 3

Agora, para verificar se é injetora, precisamos ver se o núcleo de (conjunto de todos os polinômios que são mapeados para o vetor zero) contém apenas o vetor zero. Isso significa resolver a equação:
Ou seja,

Passo 4

Vamos montar a matriz dos coeficientes desse sistema:
E aplicar métodos de eliminação para verificar se a única solução é .

Passo 5

Aplicando a eliminação de Gauss:
  1. Deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1 (já está).
  2. Eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô:
    • Linha 2: :
    • Linha 3: :
A matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos eliminar o segundo pivô:
  • Subtrair a Linha 2 da Linha 3:
A matriz fica:

Passo 7

Isso nos mostra que o sistema tem apenas a solução trivial . Portanto, o núcleo de contém apenas o vetor zero, o que significa que é injetora.

Passo 8

Como e têm a mesma dimensão e é injetora, então também é sobrejetora. Portanto, é bijetora.

Resposta

A transformação é injetora, sobrejetora e, portanto, bijetora.

Exercícios relacionados

Se são vetores de um espaço euclidiano tais que , mostre que e são ortogonais.
Calcule onde .
Sejam e matrizes quadradas de ordem . Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas: .
Calcule onde .