Sejam e matrizes quadradas de ordem . Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o determinante da transposta de uma matriz quadrada , ou seja, , é igual ao determinante da própria matriz . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é determinante, o que é a transposta de uma matriz e conhecer algumas propriedades básicas dos determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a transposta de uma matriz. A matriz transposta, denotada por , é obtida trocando as linhas pelas colunas da matriz . Por exemplo, se é uma matriz 2x2:
Então, sua transposta será:
Passo 3
Agora, sobre o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que tem várias propriedades importantes na matemática, especialmente no estudo de sistemas lineares e na inversão de matrizes.
Uma propriedade fundamental dos determinantes é que o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da própria matriz. Em outras palavras:
Isso acontece porque, ao transpor a matriz, apenas trocamos linhas por colunas, mas o cálculo do determinante leva em consideração todas as permutações possíveis de elementos, de modo que essa troca não altera o valor final do determinante.