Classifique as sequências como convergente ou divergente. Em caso de convergência, calcular o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente classificar a sequência
como convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa calcular o limite dela. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da sequência para facilitar a análise do limite. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador são expressões lineares em
:
Podemos dividir cada termo por
para isolar a parte que depende de
:
Quando
fica bem grande,
tende a zero. Então, a fração se aproxima de:
Isso sugere que a base da potência está próxima de 1 quando
é grande.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a sequência de uma forma que nos ajude a identificar o limite. Observamos que:
Então, a sequência fica:
Isso se parece com a expressão conhecida
, cujo limite é
quando
tende ao infinito.
Passo 4
Para aplicar essa propriedade, precisamos ajustar nossa expressão. Observamos que:
Podemos reescrever isso como:
Sabemos que
tende a
, então:
Portanto:
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é
.
Exercícios relacionados
O que você pode dizer sobre os conjuntos
e
, se
?
Determine a derivada da função vetorial.
d)
d)
Mostre que se
e
são conjuntos, então
.
(Este é um caso especial do princípio da inclusão-exclusão, que será estudado no Capítulo 7.)
(Este é um caso especial do princípio da inclusão-exclusão, que será estudado no Capítulo 7.)
Classifique as sequências como convergente ou divergente. Em caso de convergência, calcular o limite.