Classifique as sequências como convergente ou divergente. Em caso de convergência, calcular o limite.
a_n = ((3n + 1) / (3n - 1))^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente classificar a sequência como convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa calcular o limite dela. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da sequência para facilitar a análise do limite. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador são expressões lineares em :
Podemos dividir cada termo por para isolar a parte que depende de :
Quando fica bem grande, tende a zero. Então, a fração se aproxima de:
Isso sugere que a base da potência está próxima de 1 quando é grande.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a sequência de uma forma que nos ajude a identificar o limite. Observamos que:
Então, a sequência fica:
Isso se parece com a expressão conhecida , cujo limite é quando tende ao infinito.

Passo 4

Para aplicar essa propriedade, precisamos ajustar nossa expressão. Observamos que:
Podemos reescrever isso como:
Sabemos que tende a , então:
Portanto:

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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