Classifique as sequências como convergente ou divergente. Em caso de convergência, calcular o limite.

Passo 1

Beleza, vamos olhar esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida por . A missão é descobrir se essa sequência converge para algum número específico quando fica bem grande (ou seja, tende ao infinito) ou se ela não tem um limite definido, ou seja, diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e o comportamento da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte da nossa sequência. Quando cresce, tanto o numerador quanto o denominador crescem, mas ambos são do mesmo grau (são lineares). Para encontrar o limite dessa fração quando vai para o infinito, podemos dividir o numerador e o denominador por :
Quando tende ao infinito, se aproxima de 0, então:
Então, essa parte da sequência se aproxima de 1 à medida que cresce.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a parte . A função seno, , sempre oscila entre -1 e 1, independente de . No caso, , e como está ficando cada vez maior, o continua pulando entre -1 e 1 sem se estabilizar em um único valor.

Passo 4

Juntando as duas partes da nossa sequência , sabemos que está se aproximando de 1, mas não está se aproximando de nenhum valor específico; ele continua variando. Então, a sequência está basicamente oscilando entre valores próximos a -1 e 1 à medida que cresce.

Passo 5

Como a sequência não está se aproximando de nenhum número específico e continua variando entre -1 e 1, podemos concluir que ela não converge. Em outras palavras, a sequência é divergente porque não tem um limite definido quando tende ao infinito.

Resposta

A sequência é divergente, ou seja, não converge para nenhum limite.

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