Classifique as sequências como convergente ou divergente. Em caso de convergência, calcular o limite.
Passo 1
Beleza, vamos olhar esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida por
. A missão é descobrir se essa sequência converge para algum número específico quando
fica bem grande (ou seja, tende ao infinito) ou se ela não tem um limite definido, ou seja, diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e o comportamento da função seno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte
da nossa sequência. Quando
cresce, tanto o numerador quanto o denominador crescem, mas ambos são do mesmo grau (são lineares). Para encontrar o limite dessa fração quando
vai para o infinito, podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Quando
tende ao infinito,
se aproxima de 0, então:
Então, essa parte da sequência se aproxima de 1 à medida que
cresce.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a parte
. A função seno,
, sempre oscila entre -1 e 1, independente de
. No caso,
, e como
está ficando cada vez maior, o
continua pulando entre -1 e 1 sem se estabilizar em um único valor.
Passo 4
Juntando as duas partes da nossa sequência
, sabemos que
está se aproximando de 1, mas
não está se aproximando de nenhum valor específico; ele continua variando. Então, a sequência
está basicamente oscilando entre valores próximos a -1 e 1 à medida que
cresce.
Passo 5
Como a sequência não está se aproximando de nenhum número específico e continua variando entre -1 e 1, podemos concluir que ela não converge. Em outras palavras, a sequência é divergente porque não tem um limite definido quando
tende ao infinito.
Resposta
A sequência
é divergente, ou seja, não converge para nenhum limite.
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O que você pode dizer sobre os conjuntos
e
se sabemos que
?
Determinse se a série é convergente ou divergente
Encontre a diferença simétrica de
e
.
Mostre que
.