Determinse se a série é convergente ou divergente

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série converge ou diverge. Isso tá relacionado ao estudo de séries infinitas e aos testes de convergência que a gente aprende em cálculo. Vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e aplicar alguns testes para ver se essa série específica dá pra somar até o infinito de forma que a gente obtenha um número finito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. A presença de indica que é uma série alternada, ou seja, os termos da série mudam de sinal conforme aumenta.

Passo 3

Agora, para séries alternadas, temos um teste muito útil chamado Teste da Série Alternada de Leibniz. Esse teste diz que uma série alternada converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos são decrescentes.
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero.
Vamos verificar essas duas condições para nossa série.

Passo 4

Primeiro, vamos definir . Precisamos verificar se é decrescente e se .
Vamos calcular o limite:
Sabemos que e (n vezes). À medida que cresce, cresce muito mais rápido que , então o limite tende a zero.
Agora, vamos ver se é decrescente. Podemos comparar com :
Comparando com , fica claro que para . Então, os termos são decrescentes.

Passo 5

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada de Leibniz são satisfeitas ( é decrescente e ), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge.

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Desenhe o diagrama de Venn para cada uma das combinações abaixo dos conjuntos e .
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O que você pode dizer sobre os conjuntos e se sabemos que
?
Classifique as sequências como convergente ou divergente. Em caso de convergência, calcular o limite.