Determinse se a série é convergente ou divergente
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série
converge ou diverge. Isso tá relacionado ao estudo de séries infinitas e aos testes de convergência que a gente aprende em cálculo. Vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e aplicar alguns testes para ver se essa série específica dá pra somar até o infinito de forma que a gente obtenha um número finito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. A presença de
indica que é uma série alternada, ou seja, os termos da série mudam de sinal conforme
aumenta.
Passo 3
Agora, para séries alternadas, temos um teste muito útil chamado Teste da Série Alternada de Leibniz. Esse teste diz que uma série alternada
converge se duas condições forem atendidas:
- Os termos
são decrescentes. - O limite de
quando tende ao infinito é zero.
Vamos verificar essas duas condições para nossa série.
Passo 4
Primeiro, vamos definir
. Precisamos verificar se
é decrescente e se
.
Vamos calcular o limite:
Sabemos que
e
(n vezes). À medida que
cresce,
cresce muito mais rápido que
, então o limite tende a zero.
Agora, vamos ver se
é decrescente. Podemos comparar
com
:
Comparando com
, fica claro que
para
. Então, os termos são decrescentes.
Passo 5
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada de Leibniz são satisfeitas (
é decrescente e
), podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Desenhe o diagrama de Venn para cada uma das combinações abaixo dos conjuntos
e
.
Desenhe o diagrama de Venn para cada uma das combinações abaixo dos conjuntos
e
.
O que você pode dizer sobre os conjuntos
e
se sabemos que
?
Classifique as sequências como convergente ou divergente. Em caso de convergência, calcular o limite.