Determine a derivada da função vetorial.
d) r(t) = (t * sen(t), t^2, t * cos(2 * t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre encontrar a derivada de uma função vetorial. Isso faz parte de cálculo vetorial, onde precisamos derivar cada componente da função separadamente. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação, especialmente a regra do produto, já que algumas componentes têm produtos de funções.

Passo 2

Vamos começar com a primeira componente da função vetorial: .
Aqui, temos o produto de duas funções: e . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então, aplicando isso:
Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 3

A segunda componente é .
Aqui, é uma função simples de potência. A derivada de é .
Então:

Passo 4

Agora, a terceira componente: .
Novamente, temos o produto de duas funções: e . Vamos usar a regra do produto.
  • → Para derivar , usamos a regra da cadeia: a derivada de é . Então,
Aplicando a regra do produto:

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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