O que você pode dizer sobre os conjuntos e , se ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pergunta: “O que você pode dizer sobre os conjuntos e , se ?”. A matéria envolvida aqui é teoria dos conjuntos, mais especificamente a operação chamada diferença simétrica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a diferença simétrica e como ela funciona entre dois conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . A diferença simétrica entre dois conjuntos e , representada por , é o conjunto dos elementos que estão em ou em , mas não em ambos ao mesmo tempo. Em termos de fórmulas, fica assim:
Isso significa que pegamos os elementos que estão só em e os que estão só em , e juntamos esses dois grupos.

Passo 3

Agora, o enunciado nos diz que:
Ou seja, a diferença simétrica entre e é igual ao próprio conjunto . Vamos substituir a definição que fizemos anteriormente nessa equação:

Passo 4

Vamos analisar essa igualdade. Para que a união seja igual a , precisamos que:
  1. contenha todos os elementos de que não estão em .
  2. contenha todos os elementos de que não estão em .
Mas, se a união dessas duas partes resulta em , isso significa que não pode haver nenhum elemento em que não esteja em . Se houvesse, esses elementos estariam em e, ao juntarmos com , teríamos elementos além de , o que contraria a igualdade.

Passo 5

Portanto, para que , deve ser que seja vazio, ou seja, não existam elementos em que não estejam em . Isso só é possível se for um subconjunto de .
Agora, consideremos novamente a diferença simétrica:
Se isso é igual a , então:
Isso significa que nenhum elemento de está em , ou seja, não tem elementos que estejam em . Juntando isso com o fato de que é um subconjunto de , concluímos que não tem elementos, ou seja, é o conjunto vazio.

Resposta

O conjunto é o conjunto vazio, ou seja, .

Exercícios relacionados

Determine a derivada da função vetorial.
d)
Mostre que é um subconjunto de um conjunto universo , então
.
Classifique as sequências como convergente ou divergente. Em caso de convergência, calcular o limite.
Mostre que se e são conjuntos, então .
(Este é um caso especial do princípio da inclusão-exclusão, que será estudado no Capítulo 7.)