O que você pode dizer sobre os conjuntos
e
, se
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pergunta: “O que você pode dizer sobre os conjuntos
e
, se
?”. A matéria envolvida aqui é teoria dos conjuntos, mais especificamente a operação chamada diferença simétrica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a diferença simétrica e como ela funciona entre dois conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. A diferença simétrica entre dois conjuntos
e
, representada por
, é o conjunto dos elementos que estão em
ou em
, mas não em ambos ao mesmo tempo. Em termos de fórmulas, fica assim:
Isso significa que pegamos os elementos que estão só em
e os que estão só em
, e juntamos esses dois grupos.
Passo 3
Agora, o enunciado nos diz que:
Ou seja, a diferença simétrica entre
e
é igual ao próprio conjunto
. Vamos substituir a definição que fizemos anteriormente nessa equação:
Passo 4
Vamos analisar essa igualdade. Para que a união
seja igual a
, precisamos que:
-
contenha todos os elementos de que não estão em . -
contenha todos os elementos de que não estão em .
Mas, se a união dessas duas partes resulta em
, isso significa que não pode haver nenhum elemento em
que não esteja em
. Se houvesse, esses elementos estariam em
e, ao juntarmos com
, teríamos elementos além de
, o que contraria a igualdade.
Passo 5
Portanto, para que
, deve ser que
seja vazio, ou seja, não existam elementos em
que não estejam em
. Isso só é possível se
for um subconjunto de
.
Agora, consideremos novamente a diferença simétrica:
Se isso é igual a
, então:
Isso significa que nenhum elemento de
está em
, ou seja,
não tem elementos que estejam em
. Juntando isso com o fato de que
é um subconjunto de
, concluímos que
não tem elementos, ou seja,
é o conjunto vazio.
Resposta
O conjunto
é o conjunto vazio, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Determine a derivada da função vetorial.
d)
d)
Mostre que
é um subconjunto de um conjunto universo
, então
.
Classifique as sequências como convergente ou divergente. Em caso de convergência, calcular o limite.
Mostre que se
e
são conjuntos, então
.
(Este é um caso especial do princípio da inclusão-exclusão, que será estudado no Capítulo 7.)
(Este é um caso especial do princípio da inclusão-exclusão, que será estudado no Capítulo 7.)