Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita, que é basicamente uma soma que vai até o infinito. A tarefa é dizer se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência absoluta e convergência condicional, além de saber como testar a convergência de séries alternadas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a série original:
Essa é uma série alternada porque tem o termo
que alterna os sinais positivos e negativos.
Passo 3
O próximo passo é verificar se a série converge condicionalmente ou absolutamente. Para isso, vamos primeiro analisar a convergência absoluta. Isso significa pegar os valores absolutos dos termos da série e ver se essa nova série converge.
Passo 4
Pegando os valores absolutos dos termos, temos:
Agora, precisamos verificar se essa série convergente usando um teste de convergência, como o Teste da Comparação ou o Teste da Razão.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão para facilitar a análise:
Então, nossa série se comporta de maneira similar à série harmônica:
Sabemos que a série harmônica diverge. Portanto, pela comparação, nossa série de valores absolutos também diverge.
Passo 6
Como a série dos valores absolutos diverge, mas a série original é alternada, precisamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada. Para isso, dois critérios precisam ser atendidos:
- Os termos positivos diminuem de forma monotônica.
- O limite dos termos tende a zero conforme
tende ao infinito.
Passo 7
Vamos verificar esses critérios:
- A função
é decrescente para porque o denominador cresce mais rápido que o numerador. - Calculando o limite:
Portanto, ambos os critérios são satisfeitos.
Resposta
A série é condicionalmente convergente.
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Pelo teste da integral determine se a série a seguir é convergente ou divergente:
Encontre a série binomial para a função:
Escreva a série de Taylor para
em
.
Encontre a série binomial para a função: