Pelo teste da integral determine se a série a seguir é convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita aí:
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, soma até um certo valor) ou diverge (soma até o infinito). Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta da matemática para ajudar a determinar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Ele diz que, se a gente tem uma série
, onde
é uma função positiva, contínua e decrescente para
(para algum número natural
), então:
- Se a integral
converge, a série também converge. - Se a integral
diverge, a série também diverge.
Então, nossa tarefa é verificar essas condições para a função
.
Passo 3
Vamos checar se
é positiva, contínua e decrescente para
:
- Positiva: Claro, porque
é sempre positivo para e também é positivo. - Contínua: A função exponencial é contínua, e multiplicar por
não muda isso. Então, é contínua. - Decrescente: Precisamos ver se
está diminuindo conforme aumenta. Observando , sabemos que conforme cresce, diminui muito rápido, o que faz ser decrescente.
Então, todas as condições do Teste da Integral estão satisfeitas.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
.
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição simples:
Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral, temos:
Passo 5
A integral
é uma integral exponencial simples que sabemos que converge. Especificamente:
Então, voltando à nossa substituição:
Isso é um número finito, ou seja, a integral converge.
Resposta
Como a integral
converge, pelo Teste da Integral, a série
converge.
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Escreva a série de Taylor para
em
.