Pelo teste da integral determine se a série a seguir é convergente ou divergente:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita aí: . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, soma até um certo valor) ou diverge (soma até o infinito). Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta da matemática para ajudar a determinar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Ele diz que, se a gente tem uma série , onde é uma função positiva, contínua e decrescente para (para algum número natural ), então:
  • Se a integral converge, a série também converge.
  • Se a integral diverge, a série também diverge.
Então, nossa tarefa é verificar essas condições para a função .

Passo 3

Vamos checar se é positiva, contínua e decrescente para :
  • Positiva: Claro, porque é sempre positivo para e também é positivo.
  • Contínua: A função exponencial é contínua, e multiplicar por não muda isso. Então, é contínua.
  • Decrescente: Precisamos ver se está diminuindo conforme aumenta. Observando , sabemos que conforme cresce, diminui muito rápido, o que faz ser decrescente.
Então, todas as condições do Teste da Integral estão satisfeitas.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral .
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição simples:
Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral, temos:

Passo 5

A integral é uma integral exponencial simples que sabemos que converge. Especificamente:
Então, voltando à nossa substituição:
Isso é um número finito, ou seja, a integral converge.

Resposta

Como a integral converge, pelo Teste da Integral, a série converge.

Exercícios relacionados

Encontre a série binomial para a função:
Determine o intervalo de convergência da série:
Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Escreva a série de Taylor para
em .