Escreva a série de Taylor para
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para escrever a série de Taylor para a função
em
. Isso está relacionado à matéria de Cálculo, mais especificamente sobre séries de Taylor. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir uma função em série de potências ao redor de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função
em torno de um ponto
é dada por:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Aplicando isso para a nossa função
em
, precisamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
.
A função
tem a propriedade que suas derivadas são dadas por:
Portanto, avaliando em
:
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Taylor:
Podemos simplificar a constante
:
Resposta
A série de Taylor para
em
é: