Escreva a série de Taylor para
e^-x em x = ln 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para escrever a série de Taylor para a função em . Isso está relacionado à matéria de Cálculo, mais especificamente sobre séries de Taylor. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir uma função em série de potências ao redor de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função em torno de um ponto é dada por:
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Aplicando isso para a nossa função em , precisamos calcular as derivadas de e avaliá-las em .
A função tem a propriedade que suas derivadas são dadas por:
Portanto, avaliando em :

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Taylor:
Podemos simplificar a constante :

Resposta

A série de Taylor para em é:

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