Encontre a série binomial para a função:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a série binomial para a função:
Isso faz parte do conteúdo de séries de potências e séries binomiais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a expansão binomial de uma função na forma
e manipular essa série para encontrar a série desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série binomial para uma função da forma
. A série binomial é dada por:
Aqui,
é o coeficiente binomial generalizado, que para qualquer número real
e inteiro não negativo
, é calculado por:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula com
para a função
:
Calculando os primeiros termos para termos uma ideia:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante.
Passo 4
Agora, queremos encontrar a série para a função completa
. Já temos a série para
, então basta multiplicar cada termo da série por
:
Podemos reescrever essa soma começando de
:
Resposta
A série binomial para a função
é:
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Determine o intervalo de convergência da série:
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