Encontre a série binomial para a função:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a série binomial para a função:
Isso faz parte do conteúdo de séries de potências e séries binomiais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a expansão binomial de uma função na forma e manipular essa série para encontrar a série desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série binomial para uma função da forma . A série binomial é dada por:
Aqui, é o coeficiente binomial generalizado, que para qualquer número real e inteiro não negativo , é calculado por:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula com para a função :
Calculando os primeiros termos para termos uma ideia:
Para :
Para :
Para :
E assim por diante.

Passo 4

Agora, queremos encontrar a série para a função completa . Já temos a série para , então basta multiplicar cada termo da série por :
Podemos reescrever essa soma começando de :

Resposta

A série binomial para a função é:

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Determine o intervalo de convergência da série:
Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Pelo teste da integral determine se a série a seguir é convergente ou divergente:
Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: