Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como convergência absoluta e condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que vamos analisar a série dos valores absolutos:
Agora, precisamos determinar se essa série converge ou diverge.

Passo 3

Observamos que cresce muito rápido devido ao , que é uma função exponencial. Comparando com a série geométrica , que sabemos que diverge porque a razão , concluímos que nossa série também diverge. Ou seja, a série dos valores absolutos não converge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos diverge, agora vamos verificar se a série original é condicionalmente convergente. Para isso, usamos o teste da série alternada (Teste de Leibniz), que diz que uma série da forma converge se:
  1. Os termos são positivos.
  2. .
  3. Os termos são decrescentes.
No nosso caso, .

Passo 5

Vamos verificar essas condições:
  1. para todo .
  2. , já que cresce muito mais rápido que .
  3. Como o limite não é zero, não precisamos verificar se os termos são decrescentes.

Passo 6

Como a segunda condição do teste da série alternada não é satisfeita ( ), concluímos que a série original diverge. Não é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é divergente.

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