Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como convergência absoluta e condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que vamos analisar a série dos valores absolutos:
Agora, precisamos determinar se essa série converge ou diverge.
Passo 3
Observamos que cresce muito rápido devido ao , que é uma função exponencial. Comparando com a série geométrica , que sabemos que diverge porque a razão , concluímos que nossa série também diverge. Ou seja, a série dos valores absolutos não converge.
Passo 4
Como a série dos valores absolutos diverge, agora vamos verificar se a série original é condicionalmente convergente. Para isso, usamos o teste da série alternada (Teste de Leibniz), que diz que uma série da forma converge se:
Os termos são positivos.
.
Os termos são decrescentes.
No nosso caso, .
Passo 5
Vamos verificar essas condições:
para todo .
, já que cresce muito mais rápido que .
Como o limite não é zero, não precisamos verificar se os termos são decrescentes.
Passo 6
Como a segunda condição do teste da série alternada não é satisfeita (), concluímos que a série original diverge. Não é condicionalmente convergente.