Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos primeiro entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa descobrir se a série infinita
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries numéricas e aplicar alguns testes de convergência.
Passo 2
O primeiro passo é simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A série dada é:
Isso deixa mais claro que a série é uma constante multiplicada por uma série semelhante à série harmônica.
Passo 3
A série harmônica é conhecida por ser:
E sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, ela não tem um valor finito. Agora, vamos comparar a nossa série com a harmônica.
Passo 4
Para comparar, vamos usar o Teste da Comparação. Se a série que estamos analisando for maior ou igual a uma série que sabemos que diverge, então ela também diverge. Observamos que para todo
:
Então,
E já que a série da direita diverge, a nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.