Determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa descobrir se a série infinita converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries numéricas e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

O primeiro passo é simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A série dada é:
Isso deixa mais claro que a série é uma constante multiplicada por uma série semelhante à série harmônica.

Passo 3

A série harmônica é conhecida por ser:
E sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, ela não tem um valor finito. Agora, vamos comparar a nossa série com a harmônica.

Passo 4

Para comparar, vamos usar o Teste da Comparação. Se a série que estamos analisando for maior ou igual a uma série que sabemos que diverge, então ela também diverge. Observamos que para todo :
Então,
E já que a série da direita diverge, a nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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Aplique o teste da divergência e escreva a conclusão obtida sobre a série.
Expresse o número como uma razão de inteiros.
Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.