Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^+infty 3n-14

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa descobrir se a série infinita sumn=1^+infty 3n-14 converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries numéricas e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

O primeiro passo é simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A série dada é:
sumn=1^+infty 3n-14 = 3 sumn=1^+infty 1n - 14
Isso deixa mais claro que a série é uma constante multiplicada por uma série semelhante à série harmônica.

Passo 3

A série harmônica é conhecida por ser:
sumn=1^+infty 1n
E sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, ela não tem um valor finito. Agora, vamos comparar a nossa série com a harmônica.

Passo 4

Para comparar, vamos usar o Teste da Comparação. Se a série que estamos analisando for maior ou igual a uma série que sabemos que diverge, então ela também diverge. Observamos que para todo n >= 1:
1n - 14 > 1n
Então,
3 sumn=1^+infty 1n - 14 > 3 sumn=1^+infty 1n
E já que a série da direita diverge, a nossa série também diverge.

Resposta

A série sumn=1^+infty 3n-14 diverge.

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