Determine a soma da série.
sumn=1^+infty[15^n-1n(n+1)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa soma da série que foi dada:
sumn=1^+infty[15^n-1n(n+1)]
Aqui, estamos lidando com duas partes principais:
  1. Série Geométrica: sumn=1^+infty 15^n
  2. Série Telescópica: sumn=1^+infty 1n(n+1)
Vamos precisar entender como somar cada uma dessas séries e depois combinar os resultados para obter a soma total.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com a série geométrica:
sumn=1^+infty 15^n
Uma série geométrica tem a forma geral:
sumn=0^+infty ar^n
onde:
  • sumn=1^+infty 15^n = 15 + 15^2 + 15^3 + dots é o primeiro termo,
  • S = a1 - r é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, começamos a soma a partir de S = 151 - 15 = 1545 = 14 , então podemos reescrever a série geométrica assim:
Aqui, e .
A soma de uma série geométrica infinita, quando , é dada por:
Aplicando isso:
Então, a soma da série geométrica é .

Passo 3

Agora, vamos resolver a série telescópica:
sumn=1^+infty 1n(n+1)
Uma série telescópica é aquela em que os termos se cancelam de forma que a soma se simplifica bastante. Para facilitar, podemos decompor a fração:
1n(n+1) = 1n - 1n+1
Então, a série fica:
sumn=1^+infty ( 1n - 1n+1 )
Vamos escrever os primeiros termos para ver como isso funciona:
( 11 - 12 ) + ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + dots
Perceba que S = 1 - limn to infty 1n+1 = 1 - 0 = 1 se cancela, assim como , e assim por diante. O que sobra é apenas o primeiro termo positivo e o limite quando tende ao infinito:
Então, a soma da série telescópica é .

Passo 4

Agora, vamos combinar os resultados das duas séries:
sumn=1^+infty[15^n-1n(n+1)] = ( 14 ) - 1 = -34

Resposta

A soma da série é .

Exercícios relacionados