Determine a soma da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa soma da série que foi dada:
Aqui, estamos lidando com duas partes principais:
- Série Geométrica:
- Série Telescópica:
Vamos precisar entender como somar cada uma dessas séries e depois combinar os resultados para obter a soma total.
Passo 2
Primeiro, vamos lidar com a série geométrica:
Uma série geométrica tem a forma geral:
onde:
-
é o primeiro termo, -
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, começamos a soma a partir de
, então podemos reescrever a série geométrica assim:
Aqui,
e
.
A soma de uma série geométrica infinita, quando
, é dada por:
Aplicando isso:
Então, a soma da série geométrica é
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a série telescópica:
Uma série telescópica é aquela em que os termos se cancelam de forma que a soma se simplifica bastante. Para facilitar, podemos decompor a fração:
Então, a série fica:
Vamos escrever os primeiros termos para ver como isso funciona:
Perceba que
se cancela, assim como
, e assim por diante. O que sobra é apenas o primeiro termo positivo e o limite quando
tende ao infinito:
Então, a soma da série telescópica é
.
Passo 4
Agora, vamos combinar os resultados das duas séries:
Resposta
A soma da série é
.
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