Determine a soma da série.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa soma da série que foi dada:
Aqui, estamos lidando com duas partes principais:
  1. Série Geométrica:
  2. Série Telescópica:
Vamos precisar entender como somar cada uma dessas séries e depois combinar os resultados para obter a soma total.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com a série geométrica:
Uma série geométrica tem a forma geral:
onde:
  • é o primeiro termo,
  • é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, começamos a soma a partir de , então podemos reescrever a série geométrica assim:
Aqui, e .
A soma de uma série geométrica infinita, quando , é dada por:
Aplicando isso:
Então, a soma da série geométrica é .

Passo 3

Agora, vamos resolver a série telescópica:
Uma série telescópica é aquela em que os termos se cancelam de forma que a soma se simplifica bastante. Para facilitar, podemos decompor a fração:
Então, a série fica:
Vamos escrever os primeiros termos para ver como isso funciona:
Perceba que se cancela, assim como , e assim por diante. O que sobra é apenas o primeiro termo positivo e o limite quando tende ao infinito:
Então, a soma da série telescópica é .

Passo 4

Agora, vamos combinar os resultados das duas séries:

Resposta

A soma da série é .

Exercícios relacionados

Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Determine se a série converge ou diverge.
Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.