Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, vamos calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e verificar o valor da razão da série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Aqui, o termo geral é . Isso pode ser reescrito como . Assim, a série fica na forma de uma série geométrica , onde:
(primeiro termo)
(razão da série)
Passo 3
Agora, vamos lembrar quando uma série geométrica converge ou diverge. Uma série geométrica converge se o módulo da razão for menor que 1. Se , a série diverge.
Passo 4
Vamos calcular o módulo da razão :
Como , a série converge.
Passo 5
Como a série converge, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica: