Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, vamos calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e verificar o valor da razão da série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Aqui, o termo geral é . Isso pode ser reescrito como . Assim, a série fica na forma de uma série geométrica , onde:
  • (primeiro termo)
  • (razão da série)

Passo 3

Agora, vamos lembrar quando uma série geométrica converge ou diverge. Uma série geométrica converge se o módulo da razão for menor que 1. Se , a série diverge.

Passo 4

Vamos calcular o módulo da razão :
Como , a série converge.

Passo 5

Como a série converge, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A série é convergente e a soma dela é 6.

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