Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 n^nn!

Passo 1

Beleza, pessoal! A gente tem aqui um exercício que pede para a gente classificar uma série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A série que precisamos analisar é:
sumn=1^+infty(-1)^n+1 n^nn!
Vamos usar conceitos de convergência de séries, principalmente testes que nos ajudam a determinar se a série converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.
  • Convergência absoluta: Se a série formada pelos valores absolutos dos termos converge, então a série original também converge, independentemente do sinal dos termos.
  • Convergência condicional: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos diverge, então ela é condicionalmente convergente.
  • Divergente: Se a série não converge de jeito nenhum.

Passo 3

Agora, vamos analisar a série dos valores absolutos:
sumn=1^+infty | (-1)^n+1 n^nn! | = sumn=1^+infty n^nn!
Queremos verificar se essa série converge ou não. Para isso, vamos usar o Teste da Razão.

Passo 4

Teste da Razão: Para uma série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1 ou é infinito, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão na série dos valores absolutos:
an = n^nn!
Calculamos:
an+1an = (n+1)^n+1(n+1)! cdot n!n^n = (n+1)^n+1n^n(n+1) = (1 + 1n)^n cdot (n+1)

Passo 6

Vamos calcular o limite:
L = limn to infty (1 + 1n)^n cdot (n+1)
Sabemos que (1 + 1n)^n tende para e quando n tende ao infinito. Então:
L = e cdot infty = infty
Como L = infty > 1, pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos diverge.

Passo 7

Já que a série dos valores absolutos diverge, precisamos verificar se a série original converge condicionalmente. Mas para isso, é necessário que os termos da série original tendam a zero.
Vamos verificar:
limn to infty (-1)^n+1 n^nn!
Ignore os sinais alternados e calcule:
limn to infty n^nn! = infty
Os termos não tendem a zero, então a série original também não converge.

Resposta

A série é divergente.

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