Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^+infty (-4)^nn^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para classificarmos a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a convergência absoluta. Isso significa verificar se a série formada pelos valores absolutos dos termos converge. Então, vamos considerar a série:
sumn=1^+infty | (-4)^nn^2 | = sumn=1^+infty 4^nn^2

Passo 3

Para verificar se essa série converge, podemos usar o Teste da Raiz. Esse teste diz que se:
limn to infty raiz[n]|an| = L
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Aplicando o Teste da Raiz à série limn to infty raiz[n]4^nn^2 = limn to infty 4n^2/n = 4 times limn to infty 1n^2/n = 4 times 1 = 4 :
Como , a série diverge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente.

Passo 6

Para a série ser condicionalmente convergente, ela precisa convergir, mas não absolutamente. Porém, vamos observar o termo geral da série:
limn to infty (-4)^nn^2 = limn to infty (-4)^nn^2
Aqui, cresce de forma exponencial, enquanto cresce de forma polinomial. Isso significa que o limite tende para infinito ou menos infinito, mas não para zero.

Passo 7

Pelo Teste da Divergência, se , a série diverge. Já vimos que o limite dos termos não é zero, então a série não converge.

Resposta

A série é divergente.

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