Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para classificarmos a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e aplicar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a convergência absoluta. Isso significa verificar se a série formada pelos valores absolutos dos termos converge. Então, vamos considerar a série:
Passo 3
Para verificar se essa série converge, podemos usar o Teste da Raiz. Esse teste diz que se:
Se , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Aplicando o Teste da Raiz à série :
Como , a série diverge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente.
Passo 6
Para a série ser condicionalmente convergente, ela precisa convergir, mas não absolutamente. Porém, vamos observar o termo geral da série:
Aqui, cresce de forma exponencial, enquanto cresce de forma polinomial. Isso significa que o limite tende para infinito ou menos infinito, mas não para zero.
Passo 7
Pelo Teste da Divergência, se , a série diverge. Já vimos que o limite dos termos não é zero, então a série não converge.