Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^+infty 5^3 n 7^1-n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa determinar se essa série geométrica é convergente ou divergente. Se ela for convergente, a gente ainda calcula a soma dela. Então, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como verificar sua convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série que a gente tem aqui:
sumn=1^+infty 5^3n cdot 7^1-n
Isso parece complicado, mas vamos simplificar. Podemos reescrever os termos para facilitar a análise.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão 5^3n = (5^3)^n = 125^n . Primeiro, separamos as potências:
7^1-n = 7^1 cdot 7^-n = 7 cdot (17)^n
E
5^3n cdot 7^1-n = 7 cdot 125^n cdot (17)^n = 7 cdot (1257)^n
Agora, juntando tudo:

Passo 4

Agora, nossa série fica:
sumn=1^+infty 7 cdot (1257)^n
Essa é uma série geométrica da forma:
sumn=1^+infty ar^n
onde e .

Passo 5

Para uma série geométrica ser convergente, o valor absoluto da razão | 1257 | = 1257 approx 17,86 precisa ser menor que 1, ou seja, . Vamos verificar isso:
Como , a série não satisfaz a condição de convergência.

Resposta

A série geométrica é divergente.

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