Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa determinar se essa série geométrica é convergente ou divergente. Se ela for convergente, a gente ainda calcula a soma dela. Então, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como verificar sua convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série que a gente tem aqui:
Isso parece complicado, mas vamos simplificar. Podemos reescrever os termos para facilitar a análise.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão . Primeiro, separamos as potências:
E
Agora, juntando tudo:

Passo 4

Agora, nossa série fica:
Essa é uma série geométrica da forma:
onde e .

Passo 5

Para uma série geométrica ser convergente, o valor absoluto da razão precisa ser menor que 1, ou seja, . Vamos verificar isso:
Como , a série não satisfaz a condição de convergência.

Resposta

A série geométrica é divergente.

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Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Determine a soma da série.
Aplique o teste da divergência e escreva a conclusão obtida sobre a série.