Determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo que nos ajudam a testar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Observamos que no denominador, para grandes valores de , o termo domina.
Portanto, podemos aproximar:
Assim, o termo geral fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, sabemos que a série converge se e diverge se . Essa é a Série , um teste de comparação para séries.
Aqui, , que é maior que 1.

Passo 4

Como é assintoticamente similar a e a série converge, podemos concluir pela Comparação com uma Série que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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