Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
sumn=1^infty(-1)^n+1 n!(2 n-1)!

Passo 1

Vamos dar uma olhada na série . Aqui, estamos trabalhando com uma série alternada, que envolve fatoriais no numerador e no denominador. Para classificar essa série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, vamos precisar usar alguns testes de convergência, como o Teste da Razão e o Teste da Convergência Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n+1 n!(2n - 1)! | = sumn=1^infty n!(2n - 1)!

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão nessa série. O teste da razão nos ajuda a determinar a convergência observando o limite da razão entre termos consecutivos:
L = limn to infty | an+1an |
onde .

Passo 4

Calculando a razão an+1an = (n+1)!(2(n+1) - 1)! cdot (2n - 1)!n! = n+1(2n + 1)(2n) :

Passo 5

Agora, calculamos o limite dessa razão quando L = limn to infty n+14n^2 + 2n = limn to infty 1 + 1n4n + 2 = 0 tende ao infinito:

Passo 6

Como que é menor que 1, segundo o Teste da Razão, a série dos valores absolutos converge. Isso significa que a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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