Determine o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty(-1)^n (x+1)^2 n+1n^2+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da seguinte série:
sumn=1^infty (-1)^n (x+1)^2n+1n^2+4
Isso envolve conceitos de séries de potências e intervalo de convergência. Para resolver, vamos precisar entender como usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para séries de potências, além de verificar os pontos de limite do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar a análise. Observe que podemos reescrever o termo geral da série:
an = (-1)^n (x+1)^2n+1n^2+4
Podemos separar an = (-1)^n (x+1) cdot (x+1)^2nn^2+4 como . Então:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte que depende de limn to infty | an+1an | < 1 , que é . Para determinar o intervalo de convergência, usamos o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar para quais valores de a série converge.
O Teste da Razão diz que a série converge se:

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, encontramos an+1an = (-1)^n+1 (x+1)^2(n+1)+1(n+1)^2+4(-1)^n (x+1)^2n+1n^2+4 = -1 cdot (x+1)^2 cdot n^2+4(n+1)^2+4 :
| an+1an | = |x+1|^2 cdot n^2+4(n+1)^2+4
Agora, pegamos o valor absoluto e o limite quando limn to infty |x+1|^2 cdot n^2+4n^2+2n+5 = |x+1|^2 cdot 11 = |x+1|^2 tende ao infinito:

Passo 5

Para que a série convirja pelo Teste da Razão, precisamos que:
|x+1|^2 < 1
Resolvendo a desigualdade:
|x+1| < 1
Isso significa que -1 < x + 1 < 1 está a menos de 1 unidade de distância de 0. Ou seja:
-2 < x < 0
Subtraindo 1 de todas as partes:

Passo 6

Agora, precisamos verificar o comportamento nos extremos do intervalo, ou seja, em sumn=1^infty (-1)^n (-2+1)^2n+1n^2+4 = sumn=1^infty (-1)^n (-1)^2n+1n^2+4 = sumn=1^infty (-1)^n (-1)n^2+4 = sumn=1^infty (-1)^n+1n^2+4 e sumn=1^infty (-1)^n (0+1)^2n+1n^2+4 = sumn=1^infty (-1)^n 1n^2+4 .
  1. Para :
Isso é uma série alternada cuja termo geral tende a zero e é monótona decrescente, então converge pelo Teste da Série Alternada.
  1. Para :
Também é uma série alternada que converge pelo mesmo motivo.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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