Determine o intervalo de convergência da série:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da seguinte série:
Isso envolve conceitos de séries de potências e intervalo de convergência. Para resolver, vamos precisar entender como usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para séries de potências, além de verificar os pontos de limite do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar a análise. Observe que podemos reescrever o termo geral da série:
Podemos separar como . Então:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte que depende de , que é . Para determinar o intervalo de convergência, usamos o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar para quais valores de a série converge.
O Teste da Razão diz que a série converge se:

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, encontramos :
Agora, pegamos o valor absoluto e o limite quando tende ao infinito:

Passo 5

Para que a série convirja pelo Teste da Razão, precisamos que:
Resolvendo a desigualdade:
Isso significa que está a menos de 1 unidade de distância de 0. Ou seja:
Subtraindo 1 de todas as partes:

Passo 6

Agora, precisamos verificar o comportamento nos extremos do intervalo, ou seja, em e .
  1. Para :
Isso é uma série alternada cuja termo geral tende a zero e é monótona decrescente, então converge pelo Teste da Série Alternada.
  1. Para :
Também é uma série alternada que converge pelo mesmo motivo.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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