Pelo teste da integral determine se a série a seguir é convergente ou divergente:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série
é convergente ou divergente usando o teste da integral. Para isso, precisamos entender como aplicar esse teste a uma série.
Passo 2
Primeiro, definimos uma função contínua, positiva e decrescente que corresponde aos termos da série. No nosso caso, a função é:
Essa função é positiva para
, contínua e decrescente nesse intervalo, o que são condições necessárias para aplicar o teste da integral.
Passo 3
O teste da integral afirma que a série infinita
converge se e somente se a integral imprópria
converge. Então, vamos calcular essa integral:
Passo 4
Para resolver a integral, usamos frações parciais. Queremos expressar
como a soma de duas frações mais simples:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, escolhemos valores de
que facilitam a resolução:
-
Para
: -
Para
:
Portanto, temos:
Passo 5
Agora, vamos integrar:
Passo 6
Avaliando a integral de 1 até
:
Simplificando:
-
Para
: -
Para
:
Então:
Como a integral resulta em um valor finito (
), ela converge.
Resposta
Pelo teste da integral, a série
é convergente.
Exercícios relacionados
Seja
. Encontre as direções
e os valores de
para os quais:
é máximo
Determine a equação do plano tangente às superfícies nos pontos indicados:
no ponto
.
Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Determine o intervalo de convergência da série: