Pelo teste da integral determine se a série a seguir é convergente ou divergente:
sumn=1^infty 2n(n+2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série
sumn=1^infty 2n(n+2)
é convergente ou divergente usando o teste da integral. Para isso, precisamos entender como aplicar esse teste a uma série.

Passo 2

Primeiro, definimos uma função contínua, positiva e decrescente que corresponde aos termos da série. No nosso caso, a função é:
f(x) = 2x(x+2)
Essa função é positiva para , contínua e decrescente nesse intervalo, o que são condições necessárias para aplicar o teste da integral.

Passo 3

O teste da integral afirma que a série infinita integral1^infty 2x(x+2) dx converge se e somente se a integral imprópria converge. Então, vamos calcular essa integral:

Passo 4

Para resolver a integral, usamos frações parciais. Queremos expressar 2x(x+2) = Ax + Bx+2 como a soma de duas frações mais simples:
2 = A(x+2) + Bx
Multiplicando ambos os lados por 2 = A(0+2) + B(0) Rightarrow 2 = 2A Rightarrow A = 1 :
2 = A(-2+2) + B(-2) Rightarrow 2 = -2B Rightarrow B = -1
Agora, escolhemos valores de 2x(x+2) = 1x - 1x+2 que facilitam a resolução:
  • Para :
  • Para :
Portanto, temos:

Passo 5

Agora, vamos integrar:
integral ( 1x - 1x+2 ) dx = ln|x| - ln|x+2| + C = ln(xx+2) + C

Passo 6

Avaliando a integral de 1 até integral1^infty 2x(x+2) dx = limb to infty [ ln(bb+2) - ln(13) ] :
ln(bb+2) approx ln(1) = 0
Simplificando:
  • Para ln(13) = -ln 3 :
    0 - (-ln 3) = ln 3
  • Para :
Então:
Como a integral resulta em um valor finito ( ), ela converge.

Resposta

Pelo teste da integral, a série é convergente.

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