Pelo teste da integral determine se a série a seguir é convergente ou divergente:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série
é convergente ou divergente usando o teste da integral. Para isso, precisamos entender como aplicar esse teste a uma série.

Passo 2

Primeiro, definimos uma função contínua, positiva e decrescente que corresponde aos termos da série. No nosso caso, a função é:
Essa função é positiva para , contínua e decrescente nesse intervalo, o que são condições necessárias para aplicar o teste da integral.

Passo 3

O teste da integral afirma que a série infinita converge se e somente se a integral imprópria converge. Então, vamos calcular essa integral:

Passo 4

Para resolver a integral, usamos frações parciais. Queremos expressar como a soma de duas frações mais simples:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, escolhemos valores de que facilitam a resolução:
  • Para :
  • Para :
Portanto, temos:

Passo 5

Agora, vamos integrar:

Passo 6

Avaliando a integral de 1 até :
Simplificando:
  • Para :
  • Para :
Então:
Como a integral resulta em um valor finito ( ), ela converge.

Resposta

Pelo teste da integral, a série é convergente.

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