Seja
. Encontre as direções
e os valores de
para os quais:
é máximo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar as direções
e os valores de
que deixam essa derivada direcional no seu máximo. Isso envolve o conteúdo de derivadas direcionais e gradiente. Vamos precisar entender como calcular o gradiente da função e como ele está relacionado com a direção que maximiza a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente, representado por
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais de
em relação a
e
.
Vamos calcular:
Então, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Então, o gradiente no ponto
é
.
Passo 4
A derivada direcional
na direção de um vetor unitário
é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor
:
Para que essa derivada seja máxima,
deve estar na mesma direção do gradiente. Isso significa que
deve ser paralelo a
. Para isso, vamos normalizar o vetor gradiente para obter
.
Passo 5
Vamos normalizar o gradiente
para obter um vetor unitário na mesma direção:
Primeiro, calculamos o módulo do gradiente:
Então, o vetor unitário
na direção do gradiente é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor máximo da derivada direcional, que é igual ao módulo do gradiente:
Resposta
As direções que maximizam a derivada direcional são
e o valor máximo de
é 5.
Exercícios relacionados
Determine a equação do plano tangente às superfícies nos pontos indicados:
no ponto
.
Dada a função
sen
e o ponto
: Determine a derivada direcional em
na direção do vetor
;
Pelo teste da integral determine se a série a seguir é convergente ou divergente:
Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: