Seja . Encontre as direções e os valores de para os quais: é máximo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar as direções e os valores de que deixam essa derivada direcional no seu máximo. Isso envolve o conteúdo de derivadas direcionais e gradiente. Vamos precisar entender como calcular o gradiente da função e como ele está relacionado com a direção que maximiza a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente, representado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais de em relação a e .
Vamos calcular:
Então, o gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Então, o gradiente no ponto é .

Passo 4

A derivada direcional na direção de um vetor unitário é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor :
Para que essa derivada seja máxima, deve estar na mesma direção do gradiente. Isso significa que deve ser paralelo a . Para isso, vamos normalizar o vetor gradiente para obter .

Passo 5

Vamos normalizar o gradiente para obter um vetor unitário na mesma direção:
Primeiro, calculamos o módulo do gradiente:
Então, o vetor unitário na direção do gradiente é:

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor máximo da derivada direcional, que é igual ao módulo do gradiente:
á

Resposta

As direções que maximizam a derivada direcional são e o valor máximo de é 5.

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