Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(e) sumn=1^infty (-1)^n 5^4 n+1n^3 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar a série sumn=1^infty (-1)^n 5^4 n+1n^3 n como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries numéricas e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que vamos olhar para a série com os valores absolutos dos termos:
sumn=1^infty | (-1)^n 5^4 n+1n^3 n | = sumn=1^infty 5^4n + 1n^3n

Passo 3

Para determinar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Raiz. Nesse teste, calculamos o limite:
L = limn to infty raiz[n]an = limn to infty raiz[n]5^4n + 1n^3n
Simplificando:
L = limn to infty 5^4 + 1nn^3
À medida que L = limn to infty 5^4n^3 = 0 cresce, tende a 0, então temos:

Passo 4

No Teste da Raiz, se , a série converge absolutamente. Como , que é menor que 1, concluímos que a série dos valores absolutos converge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n 5^4 n+1n^3 n é absolutamente convergente.

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