Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série
converge ou diverge usando o teste da integral. O teste da integral é uma ferramenta da matemática que ajuda a determinar a convergência de séries, especialmente aquelas que envolvem funções contínuas, positivas e decrescentes. Para isso, vamos precisar definir uma função contínua que corresponda aos termos da série e então calcular uma integral relacionada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função
que corresponde ao termo geral da série, ou seja,
. Agora, vamos considerar a função contínua
para
. É importante garantir que essa função seja contínua, positiva e decrescente no intervalo considerado, o que parece ser o caso aqui.
Passo 3
Agora, aplicamos o teste da integral. Segundo o teste, se a integral
converge, então a série
também converge. Vamos calcular essa integral:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Passo 5
Resolvendo a integral:
Como essa integral é finita, ou seja, converge, pelo teste da integral, a série
também converge.
Resposta
A série
é convergente.