Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(f) sumn=1^infty n e^-n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série converge ou diverge usando o teste da integral. O teste da integral é uma ferramenta da matemática que ajuda a determinar a convergência de séries, especialmente aquelas que envolvem funções contínuas, positivas e decrescentes. Para isso, vamos precisar definir uma função contínua que corresponda aos termos da série e então calcular uma integral relacionada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que corresponde ao termo geral da série, ou seja, . Agora, vamos considerar a função contínua para . É importante garantir que essa função seja contínua, positiva e decrescente no intervalo considerado, o que parece ser o caso aqui.

Passo 3

Agora, aplicamos o teste da integral. Segundo o teste, se a integral integral1^infty x e^-x^2 , dx converge, então a série também converge. Vamos calcular essa integral:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar integral1^infty x e^-x^2 , dx = -12 integralu= -1^u=-infty e^u , du = 12 integral-infty^-1 e^u , du , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 5

Resolvendo a integral:
12 integral-infty^-1 e^u , du = 12 [ e^u ]-infty^-1 = 12 ( e^-1 - 0 ) = e^-12
Como essa integral é finita, ou seja, converge, pelo teste da integral, a série também converge.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados

Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(e) sumn=1^infty (-1)^n 5^4 n+1n^3 n
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(o) sumn=1^infty (-1)^nraiz2 n^2-n
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
© sumn=1^infty(-1)^n-1 n^2n!
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(i) sumn=1^infty(-1)^n-1 n^nn!