Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a série . Nosso objetivo é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries que aprendemos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente olha para a série dos valores absolutos dos termos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar um pouco essa expressão. Observe que:
1raiz2 n^2-n = 1n raiz2 - 1n
Quando 1n raiz2 = 1raiz2 cdot 1n fica muito grande, fica bem pequeno, então . Assim, a expressão se aproxima de:
Passo 4
A gente sabe que a série sumn=1^infty 1raiz2 cdot 1n diver>= é a famosa série harmônica, e ela diverge, ou seja, não tem soma finita. Então, multiplicando por não muda o fato de que a série diverge:
Como a série dos valores absolutos diverge, ela não é absolutamente convergente.
Passo 5
Mas calma que tem mais! Agora, vamos ver se a série original converge de forma condicionalmente convergente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se:
é uma sequência decrescente.
Então, a série alternada converge.
No nosso caso:
Conforme aumenta, cresce, então também cresce, o que faz com que diminua.
Como os dois critérios são atendidos, a série é condicionalmente convergente.