Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em
, explicando o que acontece quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais e pede para a gente encontrar a solução geral desse sistema. Além disso, tem que analisar o ponto de equilíbrio em (0,0) e ver o que acontece com as soluções quando o tempo
vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender sistemas lineares de equações diferenciais e como encontrar pontos de equilíbrio e suas classificações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
Passo 3
Para resolver esse sistema, vamos usar a matriz dos coeficientes. Escrevemos o sistema na forma matricial
, onde
e
é a matriz dos coeficientes:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores próprios (
) da matriz
. Para isso, resolvemos o determinante de
:
Então, os valores próprios são:
Passo 5
Com valores próprios complexos
, sabemos que a solução geral do sistema é:
No nosso caso,
e
, então a solução fica:
Passo 6
Agora, vamos analisar o ponto de equilíbrio em
. Os valores próprios são puros imaginários (
), o que indica que o sistema tem um centro como ponto de equilíbrio.
Passo 7
Quando o sistema tem um centro, as soluções são curvas fechadas (circuitos) ao redor do ponto de equilíbrio. Isso significa que, conforme
, as soluções permanecem em órbita constante ao redor de
, sem se afastarem ou se aproximarem.
Resposta
A solução geral do sistema é
O ponto de equilíbrio em
é um centro, e quando
, as soluções permanecem em órbitas circulares ao redor desse ponto, sem convergir ou divergir.