Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em (x, y) = (0, 0), explicando o que acontece quando t -> infinito.
{ dx/dt = -y, dy/dt = x }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais e pede para a gente encontrar a solução geral desse sistema. Além disso, tem que analisar o ponto de equilíbrio em (0,0) e ver o que acontece com as soluções quando o tempo vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender sistemas lineares de equações diferenciais e como encontrar pontos de equilíbrio e suas classificações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:

Passo 3

Para resolver esse sistema, vamos usar a matriz dos coeficientes. Escrevemos o sistema na forma matricial , onde e é a matriz dos coeficientes:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores próprios ( ) da matriz . Para isso, resolvemos o determinante de :
Então, os valores próprios são:

Passo 5

Com valores próprios complexos , sabemos que a solução geral do sistema é:
No nosso caso, e , então a solução fica:

Passo 6

Agora, vamos analisar o ponto de equilíbrio em . Os valores próprios são puros imaginários ( ), o que indica que o sistema tem um centro como ponto de equilíbrio.

Passo 7

Quando o sistema tem um centro, as soluções são curvas fechadas (circuitos) ao redor do ponto de equilíbrio. Isso significa que, conforme , as soluções permanecem em órbita constante ao redor de , sem se afastarem ou se aproximarem.

Resposta

A solução geral do sistema é
O ponto de equilíbrio em é um centro, e quando , as soluções permanecem em órbitas circulares ao redor desse ponto, sem convergir ou divergir.

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