Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
© sumn=1^infty(-1)^n-1 n^2n!

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma série infinita, que é tipo uma soma que vai até o infinito, e precisamos descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries, como testes de convergência para séries alternadas e testes como o da razão.

Passo 2

Vamos escrever a série que vamos analisar: .
Essa é uma série alternada porque o termo faz os sinais dos termos alternarem entre positivo e negativo.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos dos termos, ou seja:
sumn=1^infty | (-1)^n-1 n^2n! | = sumn=1^infty n^2n!

Passo 4

Agora, precisamos ver se a série L = limn to infty an+1an = limn to infty (n+1)^2(n+1)! cdot n!n^2 = limn to infty (n+1)^2n^2 cdot (n+1) converge. Vamos usar o Teste da Razão, que é muito útil quando lidamos com fatoriais.
No Teste da Razão, calculamos o limite:
Simplificando a expressão:
L = limn to infty n+1n^2 = 0
Como e , de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente. E quando uma série é absolutamente convergente, ela também é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados

Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(f) sumn=1^infty n e^-n^2
Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(e) sumn=1^infty (-1)^n 5^4 n+1n^3 n
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(i) sumn=1^infty(-1)^n-1 n^nn!
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(l) sumn=1^infty(-1)^n-1 n^4e^n