Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma série infinita, que é tipo uma soma que vai até o infinito, e precisamos descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries, como testes de convergência para séries alternadas e testes como o da razão.
Passo 2
Vamos escrever a série que vamos analisar: .
Essa é uma série alternada porque o termo faz os sinais dos termos alternarem entre positivo e negativo.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos dos termos, ou seja:
Passo 4
Agora, precisamos ver se a série L = limn to infty an+1an = limn to infty (n+1)^2(n+1)! cdot n!n^2 = limn to infty (n+1)^2n^2 cdot (n+1) converge. Vamos usar o Teste da Razão, que é muito útil quando lidamos com fatoriais.
No Teste da Razão, calculamos o limite:
Simplificando a expressão:
L = limn to infty n+1n^2 = 0
Como e , de acordo com o Teste da Razão, a série converge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente. E quando uma série é absolutamente convergente, ela também é condicionalmente convergente.