Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série numérica:
O conteúdo aqui envolve séries numéricas e convergência. Precisaremos analisar se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão dada. Sabemos que pode ser escrito como , porque:
Então, a série fica:
Passo 3
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série com valores absolutos:
Passo 4
Para determinar se a série de valores absolutos converge, podemos usar o teste de comparação. Vamos comparar com a série conhecida:
sumn=1^infty 1n
Sabemos que essa série é a série harmônica, que diverge.
Passo 5
Vamos aplicar o teste do limite de comparação. Calculamos o limite:
limn to infty nn^2+n+11n = limn to infty n^2n^2 + n + 1 = 1
Como o limite é um número finito diferente de zero e a série comparada (série harmônica) diverge, então a nossa série de valores absolutos também diverge.
Passo 6
Como a série dos valores absolutos diverge, não podemos concluir que a série original é absolutamente convergente. Vamos então verificar a convergência condicional usando o teste da série alternada.
Passo 7
Na série alternada:
sumn=1^infty (-1)^n bn
temos bn = nn^2+n+1. Para o teste, precisamos verificar duas coisas:
limn to infty bn = 0
Os termos bn são decrescentes
Passo 8
Calculamos o limite:
Portanto, a primeira condição é satisfeita.
Passo 9
Para verificar se bn é decrescente, observamos que, para n aumentando, o denominador cresce mais rápido que o numerador, então bn diminui. Isso confirma a segunda condição do teste.