Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(b) sumn=1^infty n cos (n pi)n^2+n+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série numérica:
sumn=1^infty n cos (n pi)n^2+n+1
O conteúdo aqui envolve séries numéricas e convergência. Precisaremos analisar se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão dada. Sabemos que cos(n pi) pode ser escrito como (-1)^n, porque:
cos(n pi) = (-1)^n
Então, a série fica:
sumn=1^infty n (-1)^nn^2+n+1

Passo 3

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série com valores absolutos:
sumn=1^infty | n (-1)^nn^2+n+1 | = sumn=1^infty nn^2+n+1

Passo 4

Para determinar se a série de valores absolutos converge, podemos usar o teste de comparação. Vamos comparar com a série conhecida:
sumn=1^infty 1n
Sabemos que essa série é a série harmônica, que diverge.

Passo 5

Vamos aplicar o teste do limite de comparação. Calculamos o limite:
limn to infty nn^2+n+11n = limn to infty n^2n^2 + n + 1 = 1
Como o limite é um número finito diferente de zero e a série comparada (série harmônica) diverge, então a nossa série de valores absolutos também diverge.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos diverge, não podemos concluir que a série original é absolutamente convergente. Vamos então verificar a convergência condicional usando o teste da série alternada.

Passo 7

Na série alternada:
sumn=1^infty (-1)^n bn
temos bn = nn^2+n+1. Para o teste, precisamos verificar duas coisas:
  1. limn to infty bn = 0
  2. Os termos bn são decrescentes

Passo 8

Calculamos o limite:
Portanto, a primeira condição é satisfeita.

Passo 9

Para verificar se bn é decrescente, observamos que, para n aumentando, o denominador cresce mais rápido que o numerador, então bn diminui. Isso confirma a segunda condição do teste.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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