Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
(f) sumn=2^infty (-1)^n x^n4^n ln n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=2^infty (-1)^n x^n4^n ln n
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bacana para verificar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência sumn=0^infty an x^n de uma série de potências da forma:
L = limn to infty | an+1an |
A fórmula do Teste da Razão é:
R = 1L
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
O raio de convergência é dado por:

Passo 3

Vamos identificar an = (-1)^n 4^n ln n na nossa série:
an+1 = (-1)^n+1 4^n+1 ln (n+1)
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^n+14^n+1 ln (n+1) cdot 4^n ln n(-1)^n |
Simplificando:
L = limn to infty | -14 ln (n+1) cdot ln n | = limn to infty ln n4 ln (n+1)

Passo 5

Vamos simplificar o limite:
Sabemos que, para grandes valores de ln(n+1) approx ln n :
L = limn to infty ln n4 ln n = 14
Então:

Passo 6

Agora que temos R = 1L = 114 = 4 , que é menor que 1, podemos encontrar o raio de convergência:

Passo 7

Com o raio de convergência |x| < 4 , sabemos que a série converge para valores de -4 < x < 4 tais que:
Então, o intervalo de convergência é:

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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