Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(l) sumn=1^infty(-1)^n-1 n^4e^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a série alternada sumn=1^infty (-1)^n-1 n^4e^n e precisamos descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries e entender um pouco da teoria por trás deles.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que vamos olhar para a série sem o fator alternado, ou seja, sumn=1^infty n^4e^n. Se essa série convergir, então a série original também converge absolutamente.

Passo 3

Para testar a convergência da série sumn=1^infty n^4e^n, podemos usar o Teste da Razão (Ratio Test). Esse teste nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge calculando o limite do quociente entre termos consecutivos.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty (n+1)^4e^n+1 cdot e^nn^4 = limn to infty (n+1n)^4 cdot 1e

Passo 5

Simplificando o limite:
limn to infty (1 + 1n)^4 cdot 1e = 1 cdot 1e = 1e
Como e approx 2,718, temos 1e approx 0,3679.

Passo 6

O resultado L = 1e < 1 indica, pelo Teste da Razão, que a série sumn=1^infty n^4e^n converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n-1 n^4e^n é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados

Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(i) sumn=1^infty(-1)^n-1 n^nn!
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
© sumn=1^infty(-1)^n-1 n^2n!
Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(b) sumn=1^infty n cos (n pi)n^2+n+1
Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(f) sumn=1^infty (-1)^n 7^3 n+1(ln n)^n