Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(l)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a série alternada e precisamos descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries e entender um pouco da teoria por trás deles.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que vamos olhar para a série sem o fator alternado, ou seja, . Se essa série convergir, então a série original também converge absolutamente.
Passo 3
Para testar a convergência da série , podemos usar o Teste da Razão (Ratio Test). Esse teste nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge calculando o limite do quociente entre termos consecutivos.
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
Passo 5
Simplificando o limite:
limn to infty (1 + 1n)^4 cdot 1e = 1 cdot 1e = 1e
Como e approx 2,718, temos 1e approx 0,3679.
Passo 6
O resultado L = 1e < 1 indica, pelo Teste da Razão, que a série sumn=1^infty n^4e^nconverge absolutamente.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^n-1 n^4e^n é absolutamente convergente.