Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(f) sumn=1^infty (-1)^n 7^3 n+1(ln n)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a série infinita para ver se ela converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Pra isso, vamos usar conceitos de séries numéricas e testes de convergência, como o Teste da Raiz ou o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
  • Convergência Absoluta: A série converge.
  • Convergência Condicional: A série converge, mas não converge.
  • Divergente: A série não converge nem mesmo condicionalmente.

Passo 3

Vamos verificar a convergência absoluta. Para isso, pegamos o valor absoluto dos termos da série original:
sumn=1^infty | (-1)^n 7^3n+1(ln n)^n | = sumn=1^infty 7^3n+1(ln n)^n

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Raiz para essa nova série. O Teste da Raiz diz que se limn to infty raiz[n]7^3n+1(ln n)^n = limn to infty 7^3 + 1nln n :
  • Se = limn to infty 7^3 cdot 7^1nln n = limn to infty 343 cdot 7^1nln n , a série converge absolutamente.
  • Se = limn to infty 343ln n = 0 , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular:
Simplificando:
Como tende a 1 quando tende ao infinito, temos:

Passo 5

Como o limite , pelo Teste da Raiz, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(b) sumn=1^infty n cos (n pi)n^2+n+1
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(l) sumn=1^infty(-1)^n-1 n^4e^n
Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
(f) sumn=2^infty (-1)^n x^n4^n ln n
Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
(q) sumn=0^infty n(x-1)^2 nn^3+3