Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a série infinita para ver se ela converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Pra isso, vamos usar conceitos de séries numéricas e testes de convergência, como o Teste da Raiz ou o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
Convergência Absoluta: A série converge.
Convergência Condicional: A série converge, mas não converge.
Divergente: A série não converge nem mesmo condicionalmente.
Passo 3
Vamos verificar a convergência absoluta. Para isso, pegamos o valor absoluto dos termos da série original:
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste da Raiz para essa nova série. O Teste da Raiz diz que se limn to infty raiz[n]7^3n+1(ln n)^n = limn to infty 7^3 + 1nln n :
Se = limn to infty 7^3 cdot 7^1nln n = limn to infty 343 cdot 7^1nln n , a série converge absolutamente.
Se = limn to infty 343ln n = 0 , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular:
Simplificando:
Como tende a 1 quando tende ao infinito, temos:
Passo 5
Como o limite , pelo Teste da Raiz, a série converge absolutamente.